重庆市第一中学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市第一中学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 重庆市第一中学2019-2020学年上学期期中试题高一数学 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.‎ ‎1.设全集，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集和交集运算,即可求解.‎ ‎【详解】全集,集合 根据补集定义可得 则 故选:A ‎【点睛】本题考查了集合补集、交集的简单运算,属于基础题。‎ ‎2.函数（且）的图象必经过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数过定点,结合函数图像的平移变换,即可求得函数所过的定点.‎ ‎【详解】因为指数函数（且）过定点 指数函数向右平移一个单位,向下平移一个单位可得 所以所过定点平移后为 故选:D ‎【点睛】本题考查了函数过定点的求法,注意函数图像的平移过程,属于基础题.‎ ‎3.在范围内，与角终边相同的角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，求出结果．‎ ‎【详解】与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查终边相同角的定义和表示方法，得到 与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，是解题的关键 ‎4.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使函数有意义，则需＞0，且＞0，即可得到定义域．‎ ‎【详解】要使函数有意义，则需 ‎＞0，且＞0，‎ 即有x＞-2且x＜，‎ 则-2＜x＜，‎ 即定义域为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意对数真数大于0，偶次根式被开方式非负，分式分母不为0，属于基础题．‎ ‎5.已知，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中间值法,结合指数函数与对数函数的图像与性质,依次判断每个值的取值范围,即可比较大小.‎ ‎【详解】根据指数与对数函数的图像与性质可知,‎ ‎,所以 ‎,所以 ‎,所以 所以的大小关系为 故选:A ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数图像与性质的简单应用,利用中间值比较函数值的大小,属于基础题.‎ ‎6.函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数零点的判断条件，即可得到结论．‎ ‎【详解】∵，则函数在上单调递增，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，在区间内函数存在零点，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎7.已知函数，则值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算出，再把的值带入计算即可。‎ ‎【详解】根据题意得，所以，所以选择C ‎【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题。‎ ‎8.函数的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式的特征,选择特殊值代入即可判断选项.‎ 详解】函数 当时, ,所以排除C、D选项;‎ 当时, ,所以排除A选项;‎ 所以B图像正确 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数图像的应用,根据解析式判断函数图像可结合奇偶性、单调性、特殊值等方法,属于基础题.‎ ‎9.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复合函数单调性的判断,根据的单调性即可得二次函数的单调性;由对数函数的定义域为正数,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】函数在上是减函数 由复合函数单调性判断可知,对数部分为单调递减 所以在上单调递增,且 则 解得 即 故选:C ‎【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的要求, 属于基础题.‎ ‎10.已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出函数图像,结合函数图像即可求得方程有两个不等实根时实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意,画出的图像如下图所示:‎ 由图像可知,若方程有两个不等实根 则函数图像在轴左侧的最大值大于等于1即可 所以 ‎ 即 故选:D ‎【点睛】本题考查了绝对值函数图像的画法,函数与方程的关系,属于基础题.‎ ‎11.已知函数，（且）若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,结合给出的函数值,可先判断的值,再求解即可.‎ ‎【详解】函数 则 所以 所以 因为 所以 故选:C ‎【点睛】本题考查了函数的对称性及应用,根据函数解析式及所给条件和要求的式子,分析出函数对称性,是解决此类问题的关键,属于中档题.‎ ‎12.设函数（为自然对数的底数），若存在实数使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,将问题转化为函数与反函数间的交点问题,结合交点所在区间即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知,根据反函数定义可得 ‎,为的反函数 所以存在实数使成立 即等价于存在实数,使得与的图像有交点,且交点横坐标在 根据为单调递增函数时,其反函数与的交点必在上 因为为单调递增函数 即与有交点,且交点横坐标在 所以 则,‎ 令,易证为单调递增函数 所以 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数与反函数的图像及其性质的综合应用,函数单调性的应用,属于中档题.‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎13.幂函数在上是增函数，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 幂函数满足，解得或2.‎ 当时，在上是减函数，不满足题意；‎ 当时，在上是减函数，‎ 所以.‎ 答案为：2.‎ ‎14.若一个扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．‎ ‎【详解】设扇形的半径为：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，‎ 扇形的面积为：4（cm2）．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．‎ ‎15.已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则当时， __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数满足,结合所给时的解析式,即可求得时的解析式.‎ ‎【详解】令 则 因为当时, ‎ 所以 因为奇函数满足 所以 即 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式,注意自变量的取值范围,属于基础题.‎ ‎16.已知函数f(x)＝(－|x|＋3)的定义域是[a，b](a、b∈Z)，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a，b)有________对．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 由f(x)＝(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，‎ ‎∵ 定义域是[a，b](a、b∈Z)，‎ ‎∴ 符合条件的(a，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.化简：‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分数指数幂及对数的运算,化简即可.‎ ‎（2）由对数运算,结合二次根式分母有理化及配方化简即可.‎ ‎【详解】（1）根据分数指数幂及对数的运算,化简可得 ‎（2）由对数运算和二次根式分母有理化化简可得 ‎【点睛】本题考查了分数指数幂和对数的运算,熟练掌握运算法则和化简技巧,属于基础题.‎ ‎18.已知集合为函数的值域，集合，则 ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数的图像,可求得在时的值域,求得集合B即可求.‎ ‎（2）由可知集合为集合的子集,根据集合的包含关系即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数 ‎,‎ 二次函数对称轴为,开口向上 所以在内单调递增 所以在时的值域为,即 集合,‎ 解得,即 所以 ‎（2）由可知集合为集合的子集,‎ 即 集合,‎ 则 ,解得 综上,的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的基本运算,集合与集合的关系,分式不等式与二次函数的值域问题,综合性较强,属于基础题.‎ ‎19.已知函数为二次函数， ，且关于的不等式解集为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于方程有一实根大于，一实根小于，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出二次函数解析式,根据和不等式解集,可求得二次函数的系数,得解析式.‎ ‎（2）根据一元二次方程根的分布特征,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设函数 由题意 即 故 ‎ ‎ ‎（2）令 则 根据二次函数的图像与性质可知, 有一实根大于,一实根小于 需满足 ‎ 则 ‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,二次不等式与一元二次方程的关系,一元二次方程根的分布特征,属于基础题.‎ ‎20.已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值，并求函数的值域；‎ ‎（2）判断函数的单调性（不需要说明理由），并解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1），的值域为；（2）在上单调递增，不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义域为R时,代入即可求得实数的值;根据函数单调性,结合指数函数的性质即可求得值域.‎ ‎（2）根据解析式判断函数的单调性;结合函数单调性即可解不等式.‎ ‎【详解】（1）由题意易知 , ,故,‎ 所以,‎ ‎,‎ 故函数的值域为 ‎（2）由（1）知,‎ 易知在上单调递增,且,‎ 故,‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数性质的综合应用,根据函数单调性解不等式,属于基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）画出函数的草图并由图象写出该函数的单调区间；‎ ‎（2）若，对于任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）图象见解析，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据解析式,画出函数图像,根据图像写出单调区间即可.‎ ‎（2）根据存在与恒成立的判断,结合函数图像即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）如图所示为函数图像: ‎ 由图像可知函数的单调递减区间为,单调递增区间为 ‎（2）由题意可得,‎ 其中,‎ 即 ‎ 故,‎ 综上所述.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的画法,判断函数的存在性与恒成立问题,属于中档题.‎ ‎22.对于在区间上有意义的函数，满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的，现有函数.‎ ‎（1）若函数在区间（）上是“友好”的，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先化简不等式恒成立为对应最值问题：再根据函数单调性确定最值，代入分离化简得，最后利用基本不等式求最值，得实数的取值范围；（2）化简方程为一元二次方程，并分解因式得，讨论根的情况并代入定义域进行验证，即得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）由题意可得在上单调递减，‎ 故，‎ ‎∴‎ 即，∴‎ 令（），则，则 ‎ 当或时，，∴.‎ 又对于任意的，，故 综上，的取值范围是 ‎（2），即，且①‎ ‎∴，即②‎ 当时，方程②的解为，代入①，成立 当时，方程②的解为，代入①，不成立.‎ 当且时，方程②解为或 将代入①，则且，‎ ‎∴且，‎ 将代入①，则，且 所以且 则要使方程有且仅有一个解，则，‎ 综上，若方程的解集中有且仅有一个元素，则的取值范围为.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎ ‎