人教版高三数学总复习课时作业6
课时作业6 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝2x－ B．f(x)＝x3sinx
C．f(x)＝2cosx＋1 D．f(x)＝x2＋2x
解析：令f(x)＝2x－＝2x－2－x，其定义域为R，且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
答案：A
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(－)＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f(－)＝－f()．又因为y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f()，因此f(－)＝0，故选A.
答案：A
3．(2014·大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：∵f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋2)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x)是以8为周期的函数，∴f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
答案：D
4．(2014·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)
解析：f(x)＝f(2a－x)可得函数关于直线x＝a对称，结合选项，只有D选项中函数有对称轴，故选D.
答案：D
5．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．周期函数
解析：由题知，f(x)＝x－[x]＝
据此画出f(x)的部分图象如图所示：
由图象知，f(x)为周期为1的周期函数．
答案：D
6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式
<0的解集为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：如图，作出f(x)的草图：由<0可知x，f(x)异号，∴不等式的解为－3
0，g(－x)＝－2x－3，∴g(x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.
答案：2x＋3
9．(2014·湖南卷)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
解析：因为f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝ln(e－3x＋1)＋a(－x)＝ln(e3x＋1)－3x－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，则－3－a＝a，得a＝－.
答案：－
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．
(1)求实数a的取值范围．
(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．
解：(1)f(x)＝
要使函数f(x)有最小值，需
所以－2≤a≤2，
即当a∈[－2,2]时，f(x)有最小值．
(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数，
所以g(0)＝0.设x>0，则－x<0，
所以g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，
所以g(x)＝
11．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)>2－x成立，求实数k
的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，所以(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0，对一切x∈R恒成立，所以k＝－1.
(2)因为x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，
即2x＋k·2－x>2－x成立，
所以1－k<22x对x≥0恒成立，
所以1－k<(22x)min.
因为y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x)min＝1.
所以k>0.
1．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：由f(t)＝f(1－t)，得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)，
所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，
所以f(x)的周期为2.
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，
所以f(3)＋f＝f(1)＋f
＝0－2＝－.故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，f(0)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝log2x，则在(8,10)内满足方程f(x)＋1＝f(1)的实数x的值为________．
解析：根据已知得f(－x)＝f(x)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(x＋1)＝－f(x－1)，以x＋1代x，得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4为函数f(x)的一个周期．再由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，以－x＋1代x，可得f(x)＝－f(2－x)，当x∈[1,2)时，2－x∈(0,1]，所以当x∈[1,2)时，f(x)＝－log2(2－x)．当x∈(8,9]时，x－8∈(0,1]，此时f(x)＝f(x－8)＝log2(x－8)，方程f(x)＋1＝f(1)，即f(x)＝－1，即log2(x－8)＝－1，解得x＝；当x∈(9,10)时，x－8∈(1,2)，此时f(x)＝f(x－8)＝－log2(8－x)，方程f(x)＋1＝f(1)，即f(x)＝－1，即－log2(10－x)＝－1，解得x＝8(舍去)．综上可知，在(8,10)内满足方程f(x)＋1＝f(1)的实数x的值为.
答案：
3．奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(1)＝9，则f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)的值为________．
解析：奇函数f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，则f(2＋x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝f(2)＋f(3)＋f(4)，令x＝0，则f(2)＝0；令x＝2，则f(4)＝f(0)＝0；由f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－9，故f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝－9.
答案：－9
4．已知函数f(x)＝的定义域为(－1,1)，满足f(－x)＝－f(x)，且f()＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用单调性的定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(x2－1)＋f(x)<0.
解：(1)由f(－x)＝－f(x)，得＝⇒b＝0，则f(x)＝，又由f()＝，所得a＝1；
所以f(x)＝.
(2)设－10,1＋x>0,1＋x>0，
从而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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