【数学】2019届一轮复习人教B版集合、简易逻辑学案

【数学】2019届一轮复习人教B版集合、简易逻辑学案

‎ ‎ 热点二 集合运算、简易逻辑 ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ ‎1.【2014全国卷1理】已知集合,则（ ）‎ A． B． C.． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得,或,故,选A．‎ ‎2.【2014全国卷1文】已知集合,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据集合的运算法则可得：,即选B．‎ ‎3.【2015全国卷1文】已知集合,则集合中元素的个数为（ ）.‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎4.【2015全国卷2理】已知集合,,则（）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于集合,由已知得,,用数轴可得.故选A.‎ ‎5.【2015全国卷1理】设命题,,则为（）.‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎【答案】C ‎【解析】存在的否定是任意,大于的否定是小于等于,所以,．故选C．‎ ‎6.【2016全国卷3理】设集合,,则=（）.‎ A. B.C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,得故选D.‎ ‎7.【2016全国卷1理】设集合,,则（）.‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得,,所以.故选D.‎ ‎8.【2016全国卷2文】已知集合,,则（）.‎ A.B.C.D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】,.故选D.‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎1.‎ 高考对集合问题的考查,主要以考查概念和计算为主,考查两个集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看,主要以小题形式出现,常联系不等式的解集与不等关系,试题难度较低,一般出现在前三道题中,常考查数形结合、分类讨论等数学思想方法, 2014年文 考查集合的运算,理 考查不等式的解集,2015全国卷考查了离散型数集的交集运算及不等式的解法,2016年理 考查不等式解集的交集与并集运算,文 考查离散数集的运算,预测2017年高考仍是考查集合的运算为主,理 可能与指对不等式及分式不等式结合,会涉及到集合的交集、并集、补集, 文 主要考查集合的交集与并集运算,另外集合的子集及补集问题已连续3年没有考查,今年考查的可能性比较大． ‎ ‎2.命题及其关系,以及逻辑联结词, 全称量词与存在量词,此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现,主要考查基本概念,四种命题中互为等价的命题, 全称量词与存在量词的否定是考查的重点．常以本节知识作为载体考查函数、立体几何、解析几何等内容；以逻辑推理知识为命题背景的解答题也会出现．2015年全国卷1考查了全称命题的否定,预测2017年全国卷高考题中单独考查命题之间的关系不会出现,还是以其它的知识为载体考查命题的真假.‎ ‎3.充要条件是每年高考的重要内容,试题以选择题、填空题为主,考查的知识面非常广泛,如：数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念的考查都能以充要条件的形式出现,预测2017年高考仍将以充要条件,命题及其关系作为主要考点,重点考查考生对基础知识的掌握及应用能力．iyuan u WWW. iyuan u ‎ ‎4.集合是每年必考, 命题的否定及充要条件2015年已考,四种命题的关系、命题真假判断以及逻辑联结词, 估计2017年可能会涉及.‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,‎ ‎2.空集是一个特殊且重要的集合,它不含有元素,是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.要掌握有空集参与的集合间的关系或运算,特别是根据两个集合的包含关系来讨论参数的值或范围时,不要忽视空集的特殊性.如遇到时,你是否注意到“极端”情况：或；同样当时,你是否忘记的情形？‎ ‎3.对于含有个元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ‎ ‎4.集合的运算性质：⑴；　⑵；⑶； ⑷； ⑸； ⑹；⑺.‎ ‎5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素.如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集.‎ ‎6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.‎ ‎7.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”.如下列说法中：⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；正确只有⑴．‎ ‎8.四种命题及其相互关系.若原命题是“若p则q”,则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”.提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“”判断其真假,这也是反证法的理论依据.‎ ‎9.充要条件.关键是分清条件和结论（划主谓宾）,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件.从集合角度解释,若,则A是B的充分条件；若,则A是B的必要条件；若A=B,则A是B的充要条件.‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.分析集合关系时,弄清集合由哪些元素组成,这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化,也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化,同时还要善于将多个参数表示的符号描述法的集合化到最简形式．此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时．因此分类讨论思想是必须的．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系．‎ ‎2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴,进而用集合语言表示,增强运用数形结合思想方法的意识．要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法来解决集合的问题．要注意若,则,,这五个关系式的等价性．已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．‎ ‎3.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.‎ ‎4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法．‎ ‎5.充要关系的几种判断方法 ‎(1)定义法：若 ,则是的充分而不必要条件；若 ,则是的必要而不充分条件；若,则是的充要条件； 若 ,则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法．因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”．‎ ‎(3) 充要关系可以从集合的观点理解,即若满足命题p的集合为M,满足命题q的集合为N,则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件,N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件,M＝N等价于p和q互为充要条件,M,N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件 ‎【特别提醒】充分条件与必要条件的两个特征 ‎ ①对称性：若p是q的充分条件,则q是p的必要条件；‎ ‎②传递性：若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件．‎ 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“”而后者是“”．中·华.资*源 库 iyuan u ‎ ‎5．“pq”“pq”“p”形式命题真假的判断步骤：‎ ‎（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题p、q的真假；（3）确定“pq”“p q”“p”形式命题的真假．‎ ‎6．含逻辑联结词命题真假的等价关系 ‎（1）pq真 p,q至少一个真(p)(q)假.‎ ‎（2）pq假p,q均假(p)(q)真.‎ ‎（3）pq真p,q均真(p)(q)假.‎ ‎（4）pq假p,q至少一个假(p)(q)真.‎ ‎（5）p真p假; p假p真.‎ ‎7．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：pq中p、q有一假为假,pq有一真为真,p与非p必定是一真一假．‎ ‎8.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 ‎【考场经验分享】‎ ‎1.对于集合问题的考查,常以不等式为载体进行命题,试题难度不大,考查基本的计算能力,因题目为选择题,故在考试中能够恰当应用验证的方法进行解决可节省不少时间.在平时训练是应注意这种方法的强化,争取在几秒钟内得到正确答案.‎ ‎2.对于命题的考查,因其载体丰富多彩,涉及知识较多,但命题角度以基础知识为主,多以易错点出发命制,故得分不易,出错率较高,因此解题时一定要静下心来,仔细分析,慢慢审题,联想可能出现的特殊情况,考虑全面即可.‎ ‎【名题精选练兵篇】‎ ‎1．【北京市海淀区2017届高三3月适应性考试】设全集, ,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由, 知,所以,故选A．‎ ‎2．【江西省百校联盟2017届高三2月联考】已知集合,,则的元素的个数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎3．【湖北省七市（州）2017届高三第一次联合调考（3月联考）】已知圆．设条件,条件圆上至多有个点到直线的距离为,则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为圆心到定直线的距离为,若半径,如上图,则恰有三个点到定直线的距离都是1.由于,故圆上最多有两个点到直线的距离为1；反之也成立,应选答案C.‎ ‎4．【江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考 ‎】给出下列4个命题,其中正确的命题是（ ）‎ ‎①若,则=；‎ ‎②若 ,则对；‎ ‎③若,则,使 ‎④若A,B,C,D是空间四点,命题：A,B,C,D四点不共面,命题：直线AB和CD不相交,则是成立的充分不必要条件.‎ A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①②④‎ ‎【答案】C ‎5．【广东省 广州市2017届高三3月综合测试（一）】已知成立, 函数是减函数, 则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎6．【河南省安阳市2017届高三第二次模拟】设命题：函数为奇函数；命题：,,则下列命题为假命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】因为是奇函数,所以命题真,则命题假；又因为时,恒有,所以命题假；因此依据复合命题的真假的判定法则可知是假命题,应选答案C.‎ ‎7．【2017届河南省安阳市高三第一次模拟】已知集合,,则集合的子集个数为（ ）‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解中·华.资*源 库 iyuan u 析】由已知得,,则,所以,所求集合的子集个数为,故选A. ‎ ‎8．【广东省广州市2017届高三3月综合测试（一）】已知集合,则实数的值为 A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题知方程 的解为和 ,代入可得,故本题答案选．‎ ‎9．【山西省2017届高三下学期名校联考】王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )‎ A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分条件 D. 必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件,选D.‎ ‎10．【贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试（一）】满足的集合的个数是 （ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得集合的个数是 ,选B.‎ ‎11．【广东省梅州市2017届高三下学期一检（3月）】已知命题:,命题:,使,则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】因为命题为假命题,命题为假命题,所以为真命题,选D．‎ ‎12．【山东省淄博市2017届高三3月模拟】下列命题为真命题的是（ ）.‎ A. 若,则 B. “”是“函数为偶函数”的充要条件 C. ,使成立 D. 已知两个平面,若两条异面直线满足且,则 ‎【答案】D ‎13．【河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟】设全集,集合,‎ ,则图中的阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】阴影部分表示的集合为 ,选B.‎ ‎14．【河南省南阳、信阳等六市2017届高三第一次联考】已知集合,,则的子集的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 解得 ,所以只有一个元素,因此集合的子集就是空集和它本身,故选C． ‎ ‎15．【2016届河北省衡水中学高三上学期四调】设集合,,则下列关系中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,因此,选C.‎ ‎16．【2016届江西省新余市一中高三第四次模拟】设全集集合则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 所以,所以,故选C．‎ ‎17．【2016届河南省郑州市一中高三中/华-资*源 库上学期联考】已知集合,,若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以,所以,即,所以,所以,,所以,故应选． ‎ ‎18.已知数集具有性质p：对任意,均有 .‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】由题意知,60为集合中的最大数.令,则可得集合中的最小数.这样根据题意就有：,,,可见,.‎ ‎【名师原创测试篇】‎ ‎1.已知,,则中元素个数为 ( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为= ,所以= ,故选A.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A． B． C． iyuan u D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可得,故选D.‎ ‎3.已知,,则= ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为=,所以=,故选D.‎ ‎4.已知集合,,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎5. 已知集合,( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得,由,得,所以 ‎,,∴,故选C．‎ ‎6.命题无实数解,命题 无实数解. 则下列命题错误的是（ ）‎ A．或 B．（¬）或 C．且（¬） D．且 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】在单调递减,由得 ‎ ,命题为真；‎ ‎ 又 ,‎ 当时,易知,∴,‎ 由同一坐标系中,的图像知,存在,使,‎ 故有实数解,命题为假．故D正确．‎