山东省济宁市微山县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

山东省济宁市微山县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019～2020学年度第一学期期中教学质量检测 高二数学试题 ‎ ‎2019.11‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.‎ ‎2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.‎ ‎3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用‎0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.‎ ‎4.书写力求字体工整、笔迹清楚.‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）‎ A. 开口向上，焦点为 B. 开口向右，焦点为 C. 开口向上，焦点为 D. 开口向右，焦点为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.‎ ‎【详解】抛物线，即，‎ 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.‎ ‎2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（ ）‎ A. 96 B. ‎99 ‎C. 100 D. 101‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.‎ ‎【详解】在等差数列中，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当时，则，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎3.命题：，，则命题的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.‎ ‎【详解】命题：，，‎ 否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，‎ 则命题的否定为：，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.‎ ‎4.若，，则与的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法，即可得出与的大小关系.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.‎ ‎5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.‎ ‎【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，‎ ‎，即，‎ 但是推不出，推不出，则推不出，‎ 是的必要不充分条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.‎ ‎【详解】双曲线的焦点在轴上，‎ ‎，解得，‎ 又双曲线的焦距为4，‎ ‎，解得，经检验，符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.‎ ‎7.若实数满足关系式，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式即可求出最小值.‎ ‎【详解】由题可知，，‎ 由基本不等式得，，‎ 当且仅当，即时，取等号.‎ 因此的最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.‎ ‎8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（　　）‎ A. 1 B. ﹣‎1 ‎C. 2019 D. ﹣2019‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以 故选A ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得 ‎，求出时，的范围，即可得解.‎ ‎【详解】不等式①等价于，‎ 解得，则不等式①解集为，‎ 不等式②等价于，‎ 解得，则不等式②解集为，‎ 记不等式①和不等式②解集的交集为，则，‎ 满足不等式①②的也满足不等式③，‎ 当时，恒成立，即恒成立，‎ 又当时，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.‎ ‎10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为 A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 4或5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由为等差数列，所以，即，‎ 由，所以，‎ 令，即，‎ 所以取最大值时的为，‎ 故选B．‎ ‎11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b ‎，则k的值为(　　)‎ A. B. ± C. D. ±‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.‎ 详解：∵椭圆的离心率为 ‎∴‎ ‎∴‎ 设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.‎ ‎12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得 ‎，利用基本不等式即可判断与大小关系.‎ ‎【详解】数列是等差数列，‎ ‎，‎ 数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，‎ ‎，，‎ 由基本不等式得，（当且仅当时取等号），‎ 等号取不到，，‎ ‎，‎ ‎，‎ A，C错误，D正确；‎ 对于B，（当且仅当时取等号），‎ 等号取不到，，无法判断与的关系，故B错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.‎ ‎【详解】由集合得，解得，‎ ‎，‎ ‎“”是“”的充分不必要条件，‎ 集合是集合的真子集，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.‎ ‎14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.‎ ‎【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，‎ 所以焦点在轴上，设标准方程为，‎ 且，‎ 解得：.‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.‎ ‎15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.‎ ‎【详解】不等式对任意，恒成立，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 由基本不等式得，，‎ ‎（当且仅当，即时取等号），‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 的取值范围为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.‎ ‎16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.‎ ‎【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，‎ 由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎，‎ 由题可知，，‎ 令，解得，‎ 最小正方形的边长为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.‎ ‎（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 则，，‎ 由题意，得，‎ 解得，‎ 的通项公式，.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为，‎ 由（Ⅰ）得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，‎ 当时，，‎ 当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎18.解关于的不等式：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.‎ ‎【详解】原不等式等价于不等式.（※）‎ ‎①当，即时，‎ 不等式（※）等价于，‎ 解得；‎ ‎②当，即时，‎ 不等式（※）等价于，‎ 解得或；‎ ‎③当，即，‎ 不等式（※）等价于.（☆）‎ ‎（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，‎ 此时不等式（※）的解集为； ‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ 解得；‎ ‎（ⅲ）当时，，‎ 解得；‎ 综上所述，当时，所求不等式的解集为或；‎ 当时，所求不等式的解集为；‎ 当时，所求不等式的解集为；‎ 当时，所求不等式的解集为；‎ 当时，所求不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.‎ ‎19.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；‎ ‎（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，‎ 由抛物线的定义，得，解得，‎ 所求抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.‎ ‎①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.‎ ‎②当直线的斜率不为0时，‎ 依题意，设直线：，‎ 设点，.‎ 点均在轴的上方，‎ ‎，，‎ 由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.‎ 联立直线的方程与抛物线的方程，即，‎ 消去并整理得.‎ 由，得（因为），‎ 且有，，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎：，‎ 直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎20.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.‎ 为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％.‎ ‎（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？‎ ‎（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；‎ ‎（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，‎ 整理得，解得，‎ 又，‎ ‎，‎ 最多调整出500名员工从事第三产业.‎ ‎（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，‎ 从事原来产业的员工的年总利润为万元.‎ 则由题意，知 当时，恒有，‎ 整理得在时恒成立.‎ ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.‎ ‎21.数列的前项和为，，且成等差数列．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2)见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，又成等差数列，解得，‎ 当时，得到，代入化简，即可证得结果 由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果 ‎【详解】（1）在中 令，得即，① 又 ②‎ 则由①②解得. ‎ ‎（2）当时，由 ，得到 则 又，则 是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎，即.‎ ‎（3）当恒成立时，即（）恒成立 设（），‎ 当时，恒成立，则满足条件； ‎ 当时，由二次函数性质知不恒成立； ‎ 当时，由于对称轴 ，则在上单调递减，‎ 恒成立，则满足条件， ‎ 综上所述，实数λ的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果．‎ ‎22.圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；‎ 方法二：先考虑直线斜率为0情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.‎ ‎【详解】（Ⅰ）椭圆：（）过点，‎ ‎.①‎ 又椭圆离心率为，‎ ‎，‎ ‎.②‎ 联立①②得，解得，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 当直线斜率不存在时，‎ 则，‎ ‎；‎ 当直线斜率存在时，‎ 设直线：，与椭圆交点，.‎ 联立，‎ 消去并整理得.‎ 由于，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 综上所述，.‎ 方法二：‎ 当直线斜率为0时，‎ ‎，则；‎ 当直线斜率不为0时，‎ 设直线： 设与椭圆交点，，‎ 联立，‎ 消去并整理得.‎ 由于，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎，‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的综合应用以及椭圆中的定值问题，考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题.‎