【数学】2020届一轮复习人教B版常用逻辑用语、定积分、推理与证明、函数的实际应用、排列与组合学案

【数学】2020届一轮复习人教B版常用逻辑用语、定积分、推理与证明、函数的实际应用、排列与组合学案

‎[特别说明]　之所以称其为“边缘”，是指临界于高考考查的边缘地带．高考不考正常，因为近几年这些考点不在热门考点之列；高考一旦考查也正常，因为这些考点在考纲的规定范围．为既节省有限的二轮备考时间，又防止一旦考查考生会“眼生手冷”而遗憾失分，所以将这些考点单独集结成一个专题，供考生利用课余时间适当关注．‎ 常用逻辑用语 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2018·成都检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　在锐角△ABC中，根据正弦定理＝，知sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，而正切函数y＝tan x在上单调递增，所以A＞B⇔tan A＞tan B．故选C.‎ ‎2．(2018·太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a＜b，则＞，则下列为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧綈q C．綈p∧q D．綈p∧綈q 解析：选B　对于命题p，当x0＝0时，1≥0成立，所以命题p为真命题，命题綈p为假命题；对于命题q，当a＝－1，b＝1时，＜，所以命题q为假命题，命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，故选B.‎ ‎3．(2019届高三·辽宁五校联考)已知命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，0) B．[0,4]‎ C．[4，＋∞) D．(0,4)‎ 解析：选D　因为命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤‎0”‎是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞‎0”‎是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－‎4a＜0，解得0＜a＜4，故选D.‎ ‎4．(2019届高三·湖北八校联考)下列说法正确的个数是(　　)‎ ‎①“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于‎2”‎的逆命题是真命题；‎ ‎②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠‎3”‎是一个真命题；‎ ‎③“∃x0∈R，x－x0<‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2－x＞‎0”‎；‎ ‎④“a＋1＞b”是“a＞b”的一个必要不充分条件．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C　对于①，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥‎4”‎，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故①不正确；对于②，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝‎6”‎，为真命题，所以原命题也是真命题，故②正确；对于③，“∃x0∈R，x－x0＜‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2－x≥‎0”‎，故③不正确；对于④，由a＞b可推出a＋1＞b，但由a＋1＞b不能推出a＞b，故④正确．故选C.‎ ‎ [题后悟通]‎ 快审题 ‎1.看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件⇒结论”和“结论⇒条件”的真假)，下结论(若“条件⇒结论”为真，且“结论⇒条件”为假，则为充分不必要条件).‎ ‎2.看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性；看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义．‎ ‎3.看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，要改变的两个地方．‎ 准　解　题 ‎1.充分条件与必要条件的三种判定方法 定义法 正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)‎ 集合法 利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件 等价法 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 ‎2.全称命题与特称命题真假的判定方法 ‎(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可．‎ ‎(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．‎ 避　误　区 ‎1.“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. ‎ ‎2.命题的否定只需否定结论，而其否命题既要否定条件又要否定结论.‎ 定积分 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2018·大同月考)|1－x|dx＝________.‎ 解析：|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx ‎＝＋ ‎＝－0＋－＝1.‎ 答案：1‎ ‎2．(2018·潍坊月考)dx＝________.‎ 解析：根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的(如图所示的阴影部分)．故dx＝.‎ 答案： ‎3．(2019届高三·福州四校联考)已知曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线为l，则由C，l以及直线x＝1围成的区域的面积等于________．‎ 解析：因为y′＝2x＋2，所以曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2，所以切线方程为y＝2x，所以由C，l以及直线x＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝(x2＋2x－2x)dx＝x2dx＝＝.‎ 答案： ‎4.在平面直角坐标系内任取一个点P(x，y)满足则点P落在曲线y＝与直线x＝2，y ‎＝2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为________．‎ 解析：由解得 所以阴影部分的面积为 dx ‎＝(2x－ln x)＝(2×2－ln 2)－＝3－2ln 2，‎ 因此所求概率为＝.‎ 答案： ‎ [题后悟通]‎ 快审题 ‎1.看到求定积分，想到求解原函数、牛顿—莱布尼兹公式；看到求无理式的定积分，想到转化为求曲边梯形的面积．‎ ‎2.看到求曲线围成图形面积，想到确定积分上、下限．‎ 准　解　题 ‎1.计算定积分的常用结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得下列两个结论：‎ ‎(1)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝‎2‎f(x)dx；‎ ‎(2)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.‎ ‎2.利用定积分求平面图形面积的步骤 ‎(1)根据题意画出图形；‎ ‎(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；‎ ‎(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；‎ ‎(4)计算定积分得出答案.‎ 推理与证明 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2018·沈阳质检)甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一人是医生，已知：丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)‎ A．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C．甲是医生，乙是教师，丙是记者 D．甲是记者，乙是医生，丙是教师 解析：选C　甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，所以丙一定是记者，丙的年龄又比医生大，所以乙不是医生，乙是教师，则甲是医生，故选C.‎ ‎2．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.‎ 解析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝.理由如下：‎ 设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，‎ 由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，‎ 所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，‎ 所以内切球的半径R＝.‎ 答案： ‎3．(2018·广州测试)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第3行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0到1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为Sn，如S1＝1，S2＝2，S3＝2，S4＝4，…，则S32＝________.‎ 解析：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依次类推，第n次全行的数都为1的是第2n－1行，有2n－1个1，故n＝6时，第26－1＝25＝32行有32个1，即S32＝32.‎ 答案：32‎ ‎[题后悟通]‎ 看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理.‎ 快审题 准　解　题 ‎1.破解归纳推理题的思维3步骤 ‎(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；‎ ‎(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；‎ ‎(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．‎ ‎2.破解类比推理题的3个关键 ‎(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；‎ ‎(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；‎ ‎(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.‎ 函数的实际应用 ‎[题组练透]‎ ‎1．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：‎ 销售单价/元 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 日均销售量/件 ‎400‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)‎ A．4 B．5.5‎ C．8.5 D．10‎ 解析：选C　由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值．‎ ‎2．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为‎7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为‎3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　　)‎ A．ln 2 B．ln 3‎ C. D. 解析：选C　由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为‎3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝.‎ ‎3.某人准备购置一块占地1 ‎800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为‎1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.‎ 解析：由题意可得xy＝1 800，b＝‎2a，则y＝a＋b＋3＝‎3a＋3，S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝＝45.‎ 答案：45‎ ‎4．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f(x)‎ ‎4.00‎ ‎5.61‎ ‎7.00‎ ‎8.87‎ 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝logx＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________．‎ 解析：若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝ax＋b，由已知得解得所以f(x)＝x＋，x∈N，所以最适合的函数模型的序号为①.‎ 答案：①‎ ‎[题后悟通]‎ 快审题 看到实际应用问题，想到构建函数模型．‎ 看到指、对型函数式，想到运算的技巧．‎ 准　解　题 应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键 ‎(1)一般程序：‎ ⇨⇨⇨ ‎(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.‎ 避　误　区 有关二次函数、分段函数模型求最值的注意点 ‎(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．‎ ‎(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．‎ ‎(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值.‎ 排列与组合 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2018·南宁联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　)‎ A．72 B．70‎ C．66 D．64‎ 解析：选D　从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．‎ ‎2．(2018·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为(　　)‎ A．24 B．18‎ C．16 D．10‎ 解析：选D　分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.‎ ‎3．(2018·郑州第二次质量预测)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有(　　)‎ A．240种 B．188种 C．156种 D．120种 解析：选D　因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．‎ 当A在第一位时，有AA＝48种；‎ 当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有CAA＝36种；‎ 当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有AA种，②E，F在A之后，此时应有AAA种，故A在第三位时有AA＋AAA＝36种．‎ 综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．‎ ‎4．(2018·甘肃兰州一中期末)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于‎2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有(　　)‎ A．96种 B．100种 C．124种 D．150种 解析：选D　因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分．当按照1,1,3来分时，不同的分法共有N1＝A＝60(种)；当按照2,2,1来分时，不同的分法共有N2＝A＝90(种)．根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N1＋N2＝150(种)．‎ ‎[题后悟通]‎ 快审题 ‎1.看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则．‎ ‎2.看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法．‎ ‎3.看到分组分配问题，想到先分类，再在各类中先分组后分配.‎ 妙　解　法 求解有限制条件排列问题的主要方法 ‎(1)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数．‎ ‎②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．‎ ‎(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．‎ ‎(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．‎ ‎(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列．‎ ‎(5)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法．‎ 避误区 排列、组合问题的易错点 ‎(1)分类标准不明确，有重复或遗漏．‎ ‎(2)混淆排列问题与组合问题．‎ ‎(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列.‎