数学理卷·2018届山东省滨州市邹平双语学校（三区）高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届山东省滨州市邹平双语学校（三区）高二下学期期中考试（2017-04）

班级：____________ 姓名：_____________ 考号：________________________‎ ‎ 邹平双语学校2016—2017第二学期期中考试 ‎( 3区) 高二 年级 数学（理科连读）试题 ‎ （时间：120分钟，分值：150分）‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎2．已知ξ～B（4，），且Y=2X+3，则方差D（Y）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）‎ A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人 B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分 D．在数列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+），由此归纳出{an}的通项公式 ‎4．已知函数y=f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是x+y﹣3=0，则f（﹣1）+f′（﹣1）的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（　　）‎ A．336种 B．320种 C．192种 D．144种 ‎6．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　）‎ A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40‎ ‎7．由y=﹣x2与直线y=2x﹣3围成的图形的面积是（　　）‎ A． B． C． D．9‎ ‎8．已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为（　　）‎ A． B． C．1﹣a D．‎ ‎9．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎10．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）‎ ‎12．定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x）；当x∈（0，+∞）时，都有2f（x）+xf′（x）＜，则不等式x2f（x）﹣2f（）＜x﹣的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（﹣，） D．（0，）‎ 二． 填空题（共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=　 　．‎ ‎14．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=　　．‎ ‎15．定积分　　．‎ 16． 将1，2，3，4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是　　‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎（10分）17．已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z﹣2）2为纯虚数 ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）若，求复数w的模|w|．‎ ‎（10分）18．已知二项式（x2+）n（n∈N*）展开式中，前三项的二项系数的和是56，求：‎ ‎（Ⅰ）n的值；‎ ‎（Ⅱ）展开式中的常数项．‎ ‎（12分）19.已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan（n∈N*）‎ ‎（1）计算a1，a2，a3，a4； ‎ ‎（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎（12分）20．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+1．‎ ‎（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最小值．‎ ‎（12分）21.某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等级相互独立．‎ ‎(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；‎ ‎(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．‎ ‎（14分）22．已知函数（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性．‎ 第 页，共 页 第 页，共 页 第 页，共 页 第 页，共 页 邹平双语学校2016—2017第二学期期中考试 ‎( 三区) 高二 年级 数学（理科连读）答案 一．选择题 ‎1-5 AACCA 6-10 DBACD 11-12 CB 二．填空题 ‎13．63 14． 15．8 16．55‎ 三．解答题 ‎17．解：（1）（1+bi）2=1﹣2bi﹣b2，‎ ‎∴1﹣b2=0，．又b为正实数，‎ ‎∴b=1．‎ ‎∴z=3+i．‎ ‎（2），‎ ‎∴．‎ ‎18．解：（Ⅰ）Cn0+Cn1+Cn2=56⇒n=10，n=﹣11（舍去）．‎ 故n=10‎ ‎（Ⅱ）展开式的第r+1项是 令，‎ 故展开式中的常数项是．‎ ‎19.解：（1）计算得；；；．‎ ‎（2）猜测：．下面用数学归纳法证明 ‎①当n=1时，猜想显然成立．‎ ‎②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，‎ 即．‎ 那么，当n=k+1时，Sk+1=1﹣（k+1）ak+1，‎ 即Sk+ak+1=1﹣（k+1）ak+1．‎ 又，‎ 所以，‎ 从而．‎ 即n=k+1时，猜想也成立．‎ 故由①和②，可知猜想成立．‎ ‎20．解：（1）∵f（x）=2x3﹣6x2+1，‎ ‎∴f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），‎ ‎∴f（1）=﹣3，f′（1）=﹣6，‎ ‎∴切线方程是：y+3=﹣6（x﹣1），‎ 即6x+y﹣3=0；‎ ‎（2）f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，3]递增，‎ ‎∴f（x）的最小值是f（﹣1）或f（2），‎ 而f（﹣1）=﹣7，f（2）=﹣7，‎ 故函数在[﹣1，3]上的最小值是﹣7．‎ ‎21.解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.‎ 则事件A、B、C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件，于是 P(E)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.‎ P(ξ＝30)＝P()＝(1－)(1－)(1－)＝，‎ P(ξ＝40)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，‎ P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝，‎ P(ξ＝60)＝P(ABC)＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎∴E(ξ)＝30×＋40×＋50×＋60×＝.‎ ‎22．解：（Ⅰ）当a=﹣1时，，x∈（0，+∞）．‎ 所以，x∈（0，+∞）．（求导、定义域各一分）（2分）‎ 因此f′（2）=1．即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1．（3分）‎ 又f（2）=ln2+2，（4分）‎ 所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x﹣y+ln2=0．（5分）‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以=，x∈（0，+∞）．（7分）‎ 令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x∈（0，+∞），‎ ‎①当a=0时，g（x）=﹣x+1，x∈（0，+∞），‎ 当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（8分）‎ 当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（9分）‎ ‎②当时，由f′（x）=0即解得x1=1，，此时，‎ 所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（11分）‎ 时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；（12分）‎ 时，，此时，函数f（x）单调递减．（13分）‎ 综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；‎ 当时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增；‎ 在上单调递减．（14分）‎