2018届二轮复习随机变量及其概率分布课件（江苏专用）

2018届二轮复习随机变量及其概率分布课件（江苏专用）

专题 8 　概率与统计 第 38 练　随机变量及其概率分布 随机变量及其概率分布是高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其概率分布，均值与方差，二项分布及其应用 . 对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的概率分布和均值；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 1.(2016· 四川 ) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值 是 ________. 1 2 3 解析答案 2.(2016· 天津 ) 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动 . 已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 . (1) 设 A 为事件 “ 选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ” ，求事件 A 发生的概率； 1 2 3 解析答案 (2) 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的概率分布和均值 . 1 2 3 解　 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. 所以随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 解析答案 3.(2015· 福建 ) 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定 . 小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试 . 若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定 . (1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率； 解　 设 “ 当天小王的该银行卡被锁定 ” 的事件为 A ， 1 2 3 解析答案 (2) 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X ，求 X 的概率分布和均值 . 解　 依题意得， X 所有可能的取值是 1,2,3. 所以 X 的概率分布为 返回 高考 必会题型 题型一　条件概率与相互独立事件的概率 例 1 　 (1) 先后掷两次骰子 ( 骰子的六个面上分别有 1,2,3,4,5,6 个点 ) ，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 x ， y ，设事件 A 为 “ x ＋ y 为偶数 ” ，事件 B 为 “ x ， y 中有偶数且 x ≠ y ” ，则概率 P ( B | A ) ＝ ________. 解析 答案 事件 A ： “ x ＋ y 为偶数 ” 包含事件 A 1 ： “ x ， y 都为偶数 ” 与事件 A 2 ： “ x ， y 都为奇数 ” 两个互斥事件， 事件 B 为 “ x ， y 中有偶数且 x ≠ y ” ，所以事件 AB 为 “ x ， y 都为偶数且 x ≠ y ” ， 解析 答案 点评 解析　 设 “ 甲命中目标 ” 为事件 A ， “ 乙命中目标 ” 为事件 B ， “ 丙命中目标 ” 为事件 C ， 则 目标被击中的事件可以表示为 A ∪ B ∪ C ， 即 击中目标表示事件 A 、 B 、 C 中至少有一个发生 . 点评 点评 (3) 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质 ( 是互斥还是相互独立 ) ，再选择相应的公式计算求解 . 解析答案 变式训练 1 　 (1) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概率是 0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ________. 解析　 已知连续两天为优良的概率是 0.6 ， 那么 在前一天空气质量为优良的前提下 ， 要求 随后一天的空气质量为优良的概率， 0.8 解析答案 (2) 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮 . 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为 ________. 解析　 由题设，分两类情况： ① 第 1 个正确，第 2 个错误， 第 3 、 4 个正确，得 P 1 ＝ 0.8 × 0.2 × 0.8 × 0.8 ＝ 0.102 4 ； ② 第 1 、 2 个错误，第 3 、 4 个正确， 此时概率 P 2 ＝ 0.2 × 0.2 × 0.8 × 0.8 ＝ 0.025 6. 由互斥事件概率公式得 P ＝ P 1 ＋ P 2 ＝ 0.102 4 ＋ 0.025 6 ＝ 0.128. 0.128 题型二　离散型随机变量的均值和方差 例 2 　 (2015· 山东 ) 若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为 “ 三位递增数 ” ( 如 137,359,567 等 ). 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “ 三位递增数 ” 中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次 . 得分规则如下：若抽取的 “ 三位递增数 ” 的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得－ 1 分；若能被 10 整除，得 1 分 . (1) 写出所有个位数字是 5 的 “ 三位递增数 ” ； 解析答案 解　 个位数是 5 的 “ 三位递增数 ” 有 125,135,145,235,245,345 ； 点评 (2) 若甲参加活动，求甲得分 X 的概率分布和均值 E ( X ). 解析答案 随机变量 X 的取值为 0 ，－ 1,1 ， 所以 X 的概率分布为 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应 . 点评 解析答案 (1) “ 星队 ” 至少猜对 3 个成语的概率； 解析答案 解　 记事件 A ： “ 甲第一轮猜对 ” ，记事件 B ： “ 乙第一轮猜对 ” ， 记事件 C ： “ 甲第二轮猜对 ” ，记事件 D ： “ 乙第二轮猜对 ” ， 记事件 E ： “‘ 星队 ’ 至少猜对 3 个成语 ”. 由事件的独立性与互斥性， 解析答案 (2) “ 星队 ” 两轮得分之和 X 的概率分布和均值 E ( X ). 解析答案 解　 由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 题型三　二项分布 (1) 求小王首次获胜前已经负了两场的概率； 解析答案 点评 (2) 求小王在四场比赛中获胜的场数 X 的概率分布、均值和方差 . 解析答案 点评 解析答案 点评 (1) 在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p ； ( 2) n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的； (3) 该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率 . 点评 变式训练 3 　 (2015· 湖南 ) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖 . (1) 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； 解析答案 解　 记事件 A 1 ＝ { 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 } ， A 2 ＝ { 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 } ， B 1 ＝ { 顾客抽奖 1 次获一等奖 } ， B 2 ＝ { 顾客抽奖 1 次获二等奖 } ， C ＝ { 顾客抽奖 1 次能获奖 }. 解析答案 返回 (2) 若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的概率分布和均值 . 解析答案 解析答案 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A ＝ { 两次点数均为奇数 } ， B ＝ { 两次点数之和为 6} ，则 P ( B | A ) ＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，制作一矩形，邻边长分别等于线段 AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于 20 cm 2 的概率为 ________. 解析　 设 AC ＝ x ，则 BC ＝ 12 － x ，所以 x (12 － x )>20 ，解得 2< x <10 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3. 某人射击一次击中目标的概率为 0.6 ，经过 3 次射击，设 X 表示击中 目 标 的次数，则 P ( X ≥ 2) ＝ ________. 解析　 至少有两次击中目标的对立事件是最多击中一次， 有两类情况：一次都没击中、击中一次 . 一次都没击中：概率为 (1 － 0.6) 3 ＝ 0.064 ； 所以最多击中一次的概率为 0.064 ＋ 0.288 ＝ 0.352 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4. 已知某一随机变量 X 的概率分布如下表， E ( X ) ＝ 6.3 ，则 a 的值为 ________. X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 解析 　 b ＝ 1 － 0.5 － 0.1 ＝ 0.4 ， ∴ 4 × 0.5 ＋ a × 0.1 ＋ 9 × 0.4 ＝ 6.3 ， ∴ a ＝ 7. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 设随机变量 X ～ B ( n ， p ) ，且 E ( X ) ＝ 1.6 ， V ( X ) ＝ 1.28 ，则 n ＝ ________ ， p ＝ ________. 解析　 因为随机变量 X ～ B ( n ， p ) ，且 E ( X ) ＝ 1.6 ， V ( X ) ＝ 1.28 ， 8 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ， ∵ 事件 A 全不发生为事件 A 至少发生一次的对立事件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 设 P ( ξ ＝ 1) ＝ a ， P ( ξ ＝ 2) ＝ b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 9. 从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得白球数为 X ，已知 E ( X ) ＝ 3 ，则 V ( X ) ＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由已知得 P ( η ＝ 1) ＝ p ， P ( η ＝ 2) ＝ (1 － p ) p ， P ( η ＝ 3) ＝ (1 － p ) 2 ， 则 E ( η ) ＝ p ＋ 2(1 － p ) p ＋ 3(1 － p ) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11.(2015· 陕西 ) 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T ， T 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下： T ( 分钟 ) 25 30 35 40 频数 ( 次 ) 20 30 40 10 (1) 求 T 的概率分布与均值 E ( T ) ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 由统计结果可得 T 的频率分布为 T ( 分钟 ) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的概率分布为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 E ( T ) ＝ 25 × 0.2 ＋ 30 × 0.3 ＋ 35 × 0.4 ＋ 40 × 0.1 ＝ 32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解　 设 T 1 ， T 2 分别表示往，返所需时间， T 1 ， T 2 的取值相互独立，且与 T 的概率分布相同， 设事件 A 表示 “ 刘教授共用时间不超过 120 分钟 ” ，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于 “ 刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟 ”. 方法一　 P ( A ) ＝ P ( T 1 ＋ T 2 ≤ 70) ＝ P ( T 1 ＝ 25 ， T 2 ≤ 45) ＋ P ( T 1 ＝ 30 ， T 2 ≤ 40) ＋ P ( T 1 ＝ 35 ， T 2 ≤ 35) ＋ P ( T 1 ＝ 40 ， T 2 ≤ 30) ＝ 0.2 × 1 ＋ 0.3 × 1 ＋ 0.4 × 0.9 ＋ 0.1 × 0.5 ＝ 0.91. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＝ 0.4 × 0.1 ＋ 0.1 × 0.4 ＋ 0.1 × 0.1 ＝ 0.09 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2016· 课标全国甲 ) 某险种的基本保费为 a ( 单位：元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； 解析答案 解　 设 A 表示事件： “ 续保人本年度的保费高于基本保费 ” ， 则 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 ， 故 P ( A ) ＝ 0.2 ＋ 0.2 ＋ 0.1 ＋ 0.05 ＝ 0.55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率； 解　 设 B 表示事件： “ 续保人本年度的保费比基本保费高出 60% ” ， 则 事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3 ， 故 P ( B ) ＝ 0.1 ＋ 0.05 ＝ 0.15. 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 . 解　 记续保人本年度的保费为 X ，则 X 的概率分布为 X 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E ( X ) ＝ 0.85 a × 0.30 ＋ a × 0.15 ＋ 1.25 a × 0.20 ＋ 1.5 a × 0.20 ＋ 1.75 a × 0.10 ＋ 2 a × 0.05 ＝ 1.23 a . 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.