2019年高考数学仿真押题试卷（十五）（含解析）

2019年高考数学仿真押题试卷（十五）（含解析）

专题15 高考数学仿真押题试卷（十五）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设，为虚数单位．若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：复数是纯虚数，‎ ‎，则．‎ ‎，‎ 复数在复面上对应的点的坐标为．‎ ‎【答案】． 2．已知集合，若，则实数的取值范围为　　‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【解析】解：解一元二次不等式得：或，即，，，‎ 18‎ 解一元二次不等式得，即，‎ 又，‎ 所以或，‎ 解得，‎ ‎【答案】． 3．美国总统伽菲尔德利用图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”．现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由图可知：，‎ 直角三角形的内切圆半径为，‎ ‎，‎ 设“该点也在的内切圆内部”为事件，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ ‎（A），‎ ‎【答案】．‎ 18‎ ‎ 4．已知为锐角，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：，是锐角，，‎ 又，，则 是锐角，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，且，‎ 则 ‎，‎ ‎【答案】． 5．执行如图所示的程序框图，若输入，，，则输出的，的值满足　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得 ‎，，‎ 18‎ 执行循环体，，，‎ 不满足条件，执行循环体，，，，‎ 不满足条件，执行循环体，，，‎ ‎，‎ 不满足条件，执行循环体，，，，‎ 不满足条件，执行循环体，，，，‎ 不满足条件，执行循环体，，，，‎ 此时，满足条件，退出循环，输出的值为2，的值为，‎ 可得此时，的值满足．‎ ‎【答案】． 6．已知命题：数列的通项公式为，，为实数，，且，，恒为等差数列；命题：数列的通项公式为时，数列为递增数列．若为真，则实数的取值范围为　　‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【解析】解：若，，恒为等差数列，‎ ‎，‎ 即，‎ 整理得，即．即，‎ 若数列的通项公式为时，则，‎ 即，‎ 若为真，则，至少有一个为真命题，‎ 即，，‎ 18‎ ‎【答案】．‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　　‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥，‎ 几何体的表面积为：．‎ ‎【答案】．‎ ‎ 8．已知抛物线的准线与圆相切，则抛物线的方程为　　‎ A． B． ‎ C． D．或 ‎【解析】解：圆，抛物线的准线为，‎ 抛物线的准线与圆相切，‎ ‎，解得．‎ 抛物线方程为：．‎ ‎【答案】． 9．已知为外接圆的圆心，，，则　　‎ 18‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【解析】解：如图，取中点，中点，并连接，，则：‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎．‎ ‎【答案】． 10．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以为圆心的大圆直径为1，以为直径的半圆面积等于与所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：阴影部分面积等于，‎ 所以根据几何概型得．‎ ‎【答案】． ‎ 18‎ ‎11．中，是边上的高，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：中，是边上的高，，‎ 在等腰直角三角形中，设，‎ 可得，‎ 在直角三角形中，‎ ‎，‎ 即有，‎ 则，‎ 可得，即，‎ 则．‎ ‎【答案】． 12．函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是　　‎ A． B．， C． D．‎ ‎【解析】解：，‎ 时不成立，‎ 时，化为：．‎ ‎．‎ 可得：时，，函数单调递增；‎ 时，时，函数单调递减；‎ 时，，函数单调递增．‎ 18‎ 画出图象．‎ ‎（3）．‎ 可得：当且仅当时，函数与函数由且仅有一个交点．‎ 即函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是．‎ ‎【答案】．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为　　．‎ ‎【解析】解：红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，‎ 一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，‎ 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．‎ ‎【答案】． 14．在中，已知，当时，的面积为　　．‎ ‎【解析】解：，，‎ ‎，‎ 18‎ ‎【答案】 15．设等比数列的前项和为，若，则　　．‎ ‎【解析】解：因为等比数列的前项和为，则，，成等比，‎ 所以，又，即，‎ 所以，‎ 整理得．‎ ‎【答案】 16．已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点，延长，与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为　　．‎ ‎【解析】解：依题意得焦点的坐标为：，，‎ 设在抛物线的准线上的射影为，连接，‎ 由抛物线的定义知，因为，‎ 所以，‎ 又，，所以，解得．‎ ‎【答案】．‎ 18‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知数列的前项和为，满足：，，数列为等比数列，满足，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ），，‎ 可得，‎ 即数列为首项和公差均为1的等差数列，‎ 可得；‎ 数列为等比数列，满足，，．‎ 设公比为，可得，可得，‎ 即有时，，可得；‎ 不成立，舍去，‎ 则；‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎；‎ 18‎ ‎，则，‎ 即有． 18．如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，‎ ‎，，，‎ 平面，平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面，，‎ 又，四边形是平行四边形，，‎ 是等边三角形，，‎ 又平面，平面平面，平面平面，‎ 平面，平面，‎ 平面，平面平面．‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，，‎ 又，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，0，，，0，，，，，‎ 18‎ 设平面的一个法向量为，，，‎ ‎，，，，，，‎ 则，取，得，‎ 设平面的一个法向量为，，，‎ ‎，0，，，，，‎ 则，取，得，0，，‎ 设二面角的平面角为，由题意为钝角，‎ 则．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎ 19．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）由：，令可得，则，‎ 则，可得 18‎ ‎，，，‎ 椭圆的方程为．‎ 证明：（Ⅱ）由题意可知，直线的方程为，‎ 由，‎ 设，，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设的中点为，则，，‎ 则的过程为，‎ 令，可得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 为定值． 20．某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在，的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．‎ 产品质量毫克 频数 ‎，‎ ‎3‎ ‎ ，‎ ‎9‎ ‎，‎ ‎19‎ 18‎ ‎，‎ ‎35‎ ‎，‎ ‎22‎ ‎，‎ ‎7‎ ‎，‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？‎ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 附表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式： ‎ ‎（Ⅱ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标服从正态分布，，求质量指标落在上的概率；‎ 参考公式：，．‎ ‎（Ⅲ）若以频率作为概率，从甲流水线任取2件产品，求至少有一件产品是合格品的概率．‎ 18‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为 所以，列联表是：‎ 甲流水线 乙流水线 总计 ‎ 合格品 ‎92‎ ‎ 96‎ ‎188‎ 不合格品 ‎8‎ ‎ 4‎ ‎ 12‎ 总计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 所以，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．‎ ‎（Ⅱ）乙流水线的产品生产质量指标服从正态分布，，‎ 所以，，‎ 所以 ‎，‎ 即：，‎ 所以质量指标落在，的概率是0.8185．‎ ‎（Ⅲ）若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率，‎ 设“任取两件产品，至少有一件合格品“为事件，‎ 则为”任取两件产品，两件均为不合格品“，且，‎ 所以（A），‎ 所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为0.9936． 21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：函数只有一个零点；‎ ‎（Ⅱ）若函数的极大值等于0，求实数的取值范围．‎ 18‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）由题知：’ ．‎ 令，‎ 所以，当时，，即在上单调递减．‎ 又因为’（1）（1），所以，当时，’ ；当时，’ ．‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减，所以（1）．‎ 所以只有一个零点．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，的极大值等于0，符合题意．‎ ‎①当时，因为当时，’ ；当时，’ ；‎ 且（1），．‎ 故存在，满足，‎ 又，’ ；，’ ；‎ 所以，此时是的唯一极大值点，且（1）．，符合题意．‎ ‎②当时，因为，；，，且（1），‎ 所以，即在上单调递减无极值点，不合题意．‎ ‎③当时，因为当时，’ ；当时，；且（1），．‎ 令，则；所以（a）（1），‎ 所以，即．‎ 又因为，故存在，‎ 满足，‎ 此时是的唯一极小值点，是的唯一极大值点，（1）．因此不合题意．‎ 综上可得：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 18‎ ‎22．直角坐标系中，曲线的参数方程为其中为参数）；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点，求线段的长．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）因为曲线的参数方程为为参数，‎ 所以的普通方程为①，‎ 在极坐标系中，将代入①得，‎ 化简得，的极坐标方程为：②．‎ ‎（Ⅱ）因为直线的极坐标方程为，‎ 且直线与曲线和和曲线分别交于，，可设，，，，‎ 将，代入②得，‎ 将，代入曲线得．‎ 所以．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）时，函数，‎ ‎①当时，，‎ 不等式可化为，‎ 解得，所以；‎ 18‎ ‎②当时，，‎ 不等式可化为，‎ 解得，所以；‎ 当时，，‎ 不等式可化为，‎ 解得，所以；‎ 综上，不等式的解集为或；‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 对任意，恒成立，‎ 所以，‎ 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是，．‎ 18‎