2018-2019学年福建省南平市高一第一学期期末质量检测数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省南平市高一第一学期期末质量检测数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省南平市高一第一学期期末质量检测数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对数性质化简集合P，然后求交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，又 ‎∴‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎2．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两点求斜率公式可得AB所在直线当斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵直线过点，，‎ ‎∴，‎ 设AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），‎ 则tanα＝1，即α＝45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．‎ ‎3．在正方体中，异面直线与所成角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由∥可知异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，在等边三角形中易得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：∵∥，‎ ‎∴异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，‎ ‎∵△DB为等边三角形，‎ ‎∴∠DB＝60°．‎ ‎∴异面直线与所成角为60°‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ ‎4．函数的零点所在的区间是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：记，则 ‎ 所以零点所在的区间为 ‎【考点】本题主要考查函数的零点存在定理.‎ 点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.‎ ‎5．设函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 ‎【答案】A ‎【解析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），‎ f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故A正确，‎ ‎|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，‎ f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）是奇函数，故C错误．‎ ‎|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．‎ ‎6．设， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若， ， ，则 B．若， ， ，则 C．若， ， ，则 D．若， ， ，则 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： ， ,故选D.‎ ‎【考点】点线面的位置关系.‎ ‎7．若函数的最大值为2，则实数的值为（ ）‎ A．-1 B．-2 C．-3 D．-4‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的奇偶性，求解函数的最值，列出方程，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：函数f（x）＝3﹣|x|﹣m是偶函数，‎ x＞0时，函数是减函数，函数的最大值为：1﹣m＝2，‎ 解得m＝﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最值，函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎8．若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：∵a＝log0.31.2＜0，b＝（0.3）1.2∈（0，1），c＝1.20.3＞1．‎ ‎∴a＜b＜c．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图得到几何体为球挖去 得到的，根据体积计算半径，然后计算表面积．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知三视图得到几何体是球挖去剩下的部分，设球半径为r，由几何体体积为得到，解得r＝1，所以几何体的表面积为.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体的形状．‎ ‎10．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，‎ 从而得出l的斜率k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：∵直线l的方程0可化为 k（x﹣1） +1＝0，‎ ‎∴直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，如图所示；‎ 则直线PA的斜率是kPA4，‎ 直线PB的斜率是kPB，‎ 则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是 ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程的应用问题，考查了斜率与倾斜角的关系，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．‎ ‎11．由曲线围成的图形面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意作出图形，结合图形知曲线所围成的图形是一个正方形与四个半圆组成，由此求得面积．‎ ‎【详解】‎ 解：曲线x2+y2＝2|x|+2|y|可化为（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝2；‎ 由题意，作出图形如图所示；‎ 由曲线关于x,y轴，原点对称对称，‎ 当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，‎ 则此曲线所围成的图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，‎ 所围成的面积是224π×（）2＝8+4π．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．‎ ‎12．已知函数，若互不相等，且，则 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作函数的图象，从而可得ab＝1，8＜c＜10；从而求得．‎ ‎【详解】‎ 解：作函数的图象如下，‎ ‎∵不妨设0＜a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），‎ ‎∴﹣log8a＝log8b，即ab＝1；‎ ‎8＜c＜10；‎ 故abc的取值范围是（8，10）；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数形结合思想应用及对数的运算，同时考查了整体代换的思想应用．‎ 二、填空题 ‎13．设为上的奇函数，当时，，则__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】先求出，再利用奇偶性得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：∵当时，，‎ ‎∴，又为上的奇函数 ‎∴‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎14．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱锥外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．‎ ‎【详解】‎ 解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它 扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：.‎ 所以球的直径是2，半径为1，‎ 球的体积：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的体积和表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．‎ ‎15．表示三个数中的最小值，设，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】作出三个函数的图象，结合图象不难得到结果.‎ ‎【详解】‎ 作出三个函数的图象：‎ 根据定义可知，在B处取到最大值，当x+3＝11﹣x时，x＝4，‎ 故f（4）＝7，‎ 故答案为：7．‎ ‎【点睛】‎ 本题以新定义为背景，考查了函数的最值的求法及分段函数的应用．‎ ‎16．已知为等腰三角形，，是的中点，且，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决．‎ ‎【详解】‎ 解：等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，BD＝4，‎ 则：．‎ 则：，‎ 故最大值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，把表达式的未知量减到最少．‎ 三、解答题 ‎17．已知直线过点和点.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）设点，求三角形的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】(1)利用截距式得到直线的方程；‎ ‎（2）求出及点到直线的距离，即可得到三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的方程为，即 ‎（2）‎ 点到直线的距离 因此三角形的面积 ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的应用，考查截距式方程、点到直线距离等知识，属于基础题.‎ ‎18．设函数 ．‎ ‎（1）用定义证明函数 在区间 上是单调递减函数；‎ ‎（2）求在区间上的最值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．（2）利用（1）中的单调性求最值．‎ 试题解析：‎ 解：（1）由定义得，所以函数 在区间 上是单调递减函数；‎ ‎（2）∵函数 在区间 上是单调递减函数,‎ ‎.‎ 点睛：明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎19．如图，为空间四点，在中，，，等边三角形以为轴转动.‎ ‎（1）当平面平面时，求；‎ ‎（2）当转动时，直线和所成的角是否为定值？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）4（2）直线和所成的角为（定值）‎ ‎【解析】（1）取出AB中点E，连接DE，CE，由等边三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD;‎ ‎（2）总有AB⊥CD，当D∈面ABC内时，显然有AB⊥CD，当D在而ABC外时，可证得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取的中点，连结，‎ 因为是等边三角形，所以，‎ 当平面平面时，因为平面平面，‎ 所以平面，可知.‎ 由已知可得，，‎ 在中，.‎ ‎（2）当以为轴转动时，直线和所成的角为（定值）‎ 证明：（ⅰ）当在平面内时，因为，，‎ 所以都在线段的垂直平分线上，‎ 即直线和所成的角为（定值）‎ ‎（ⅱ）当不在平面内时，由（1）知，，‎ 又因为，所以，‎ 又为相交直线，所以平面，‎ 由平面，得 综上所述，直线和所成的角为（定值）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用线面垂直的方法来证明线线垂直，考查学生的空间想象能力，属于基础题．‎ ‎20．已知函数的图像过点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：函数的图像关于点对称；‎ ‎（3）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）利用点在图像上，得到，从而得到的值；‎ ‎（2）利用中心对称的概念加以证明即可；‎ ‎（3）由（2）知，，分组求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由题意得：，解得：‎ ‎（2）证明：因为 ‎ 所以函数的图像关于点对称.‎ ‎（3）解：由（2）知，，‎ 则，，，，‎ 故 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的对称性和应用，考查化简整理和运算能力，属于基础题．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）证明：函数是奇函数；‎ ‎（2）判断函数在区间上的单调性（直接写结论，不需证明）；‎ ‎（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）是上的增函数，（3）‎ ‎【解析】（1）利用奇偶性定义证明即可；‎ ‎（2）根据增函数+增函数=增函数即可得到结果；‎ ‎（3）利用单调性与奇偶性原不等式等价于，令，‎ 可得，转求的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为，‎ 所以是奇函数.‎ ‎（2）是上的增函数，‎ ‎（3）由（1）（2）知是奇函数且是上的增函数，‎ 由，得，‎ 令，因为，所以，由，可得 令，‎ 因为函数是上的增函数，上的减函数，‎ 所以 ‎（用均值不等式求最值，照常给分）‎ 故实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎22．已知圆满足：①被轴分成两段圆弧，弧长的比为3:1；②截轴所得的弦长为2.‎ ‎（1）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）求圆心到直线的距离最小的圆方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）设出圆心M的坐标和半径为r，根据弧长的比为3:1，可知圆心角为，结合垂径定理可得圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）先利用点到直线的距离公式表示出圆心M到直线l的距离d ‎，两边平方后，根据基本不等式及（1）得出的a与b的关系式即可得到d的最小值，当且仅当a＝b取等号，把a＝b与（1）得出的关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而确定出圆心坐标和圆的半径，写出圆的标准方程即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动圆心，圆的半径为，则点到轴、轴的距离分别为和 ‎∵圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，‎ ‎∴圆截轴所得弦长为，则 又∵圆截轴所得的弦长为2，‎ ‎∴，从而，‎ 故圆心的轨迹方程为.‎ ‎（2）设所求的圆方程为 由（1）的结论得 ‎∵点到直线的距离为 ‎（法一）∴‎ 当且仅当时取等号，‎ 此时，则，解得或 由，得 故所求的圆方程为或 ‎（法二）将代入并化简得 因为是实数，所以，则，‎ 当取得最小值（最小值为）时，，，.‎ 故所求的圆方程为或 ‎【点睛】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，基本不等式以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．‎