吉林省长春外国语学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

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长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级 数学试卷(文)‎ 出题人 ： 陈燕 审题人：康乐 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 ‎ 息条形码粘贴区。‎ ‎ 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 ‎ 写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎ 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；‎ ‎ 在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎ 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设集合，，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设复数满足（为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知直线与直线，则是的 A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.‎ 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．在等比数列中，和是方程的两根，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知向量，，且，则 ( )‎ A．－8 B．－‎6 C. 6 D．8‎ ‎7.下列函数中，在内单调递减的是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的部分图象(如图所示，则 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围 A．或 B．或 C． D．‎ ‎10.在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与AC所成角的余弦值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为 A. 　 B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)‎ ‎13.已知实数满足，则的最大值为 ‎ ‎14. 曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎15. 的内角的对边分别为．若的面积为，‎ 则 ‎ ‎16.已知函数，数列的通项公式为，‎ 则 ;此数列前2019项的和为 ．‎ 三、解答题：‎ ‎17.在中，内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求角；‎ ‎(2)若,求面积的最大值 ‎18. 如图，直三棱柱中， ‎ ‎.‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）求三棱锥的体积. ‎ ‎19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示 ‎0.030‎ ‎0.015‎ ‎0.010‎ 频率/组距 ‎ 15 25 35 45 55 65 年龄（岁）‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第2组中抽到人的概率.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于 两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；‎ ‎（2）若不等式有解，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22 选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.‎ ‎（1）求与的交点的极坐标；‎ ‎（2）设点在上，，求动点的轨迹的极坐标方程.‎ ‎23 选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若恒成立,求的取值范围.‎ ‎ .‎ 长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级 数学试卷(文)答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A A C D A B D B C D 二、填空题：‎ ‎13. 4 ; 14. ‎ ‎15. 16. ；2020‎ ‎ ‎ 三、解答题：‎ ‎17. (1) ；‎ ‎(2)面积的最大值为 ‎18 ‎ ‎（1）略 ‎（2) ‎ ‎19. 解：（1）由，得.‎ ‎ （2）平均数为；岁；‎ ‎（3）第1,2, 3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为. ‎ 设从5人中随机抽取3人，为，共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率.‎ ‎20. 解：（1）设动圆的半径为，由题意知 从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.‎ ‎（2）设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有有，‎ 点到直线的距离为，点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，有，由函数在单调递增 有，故，四边形面积的最大值为.‎ ‎21. 解：‎ ‎ （1）∵，∴当时，取最大值，∴，∵，∴‎ ‎ ∴此时，在上，，单调递减，‎ ‎ 在上，，单调递增，∴极小值点为.‎ ‎ （Ⅱ）∵且.‎ ‎ ∴在上，，单调递减，在上，‎ ‎ ，单调递增，∴‎ ‎ ∵关于的不等式有解，∴，∵，∴‎ ‎ 令，∴，‎ ‎ 在上，，单调递增，在上，，单调递减，‎ ‎ ∴，∴可解得且 ‎ ∴的取值范围是且. ‎ ‎22.（1）联立，，，交点坐标 ‎ （2）设,且，由已知得 ，点的极坐标方程为 ‎23.(1) ‎ ‎ (2) ‎