【推荐】专题06 解密解三角形中几何运算-2018版高人一筹之高三数学（文）二轮复习特色专题训练

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一、单选题 ‎1．已知在中， 是边上的点，且， ， ,则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ 二、填空题 ‎2．中， 是边上的一点，已知， ， ， ，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】在三角形ABD中， =，利用正弦定理得，在三角形ADC中， ，所以AC=2.‎ 故答案为2.‎ ‎3．在中， ， 的面积为3， 为边的中点， ，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎△ABC中应用余弦定理有： ，‎ 应用正弦定理可得： ，‎ 则： .‎ ‎4．在中， 为边长一点， ， ．若且的面积为 ‎，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由余弦定理，得，解得，因为的面积为，所以，所以，在中，由余弦定理，得，由三角形的面积公式，得,即.‎ ‎5．已知中， ，角所对的边分别为，点在边上， ，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎6．在中，点在边上，且满足， ．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由得，根据，可得，再根据三角恒等变换，即可求出求；（2）由（1）得，利用余弦定理即可求出．‎ ‎（2）由（1）得， ‎ ‎∴，‎ ‎∴或．‎ ‎7．如图，在中，内角， ， 的对边分别为， ， ，已知， ， ， ， 分别为线段上的点，且， ．‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（I）在△ABC中，利用余弦定理计算BC，再在△ACD中利用余弦定理计算AD；‎ ‎（II）根据角平分线的性质得到，又，所以，所以， ，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果. ‎ ‎（2）因为是的平分线，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以， ，‎ 又因为，所以，‎ 所以．‎ ‎8．在△ABC中，内角的对边成公差为2的等差数列， .‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求边上的高的长；‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据条件可得， ，在△ABC中由余弦定理可得到关于的方程，解方程可得的值．（2）在△ABC中由三角形的面积公式可得高的长．‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知， ， ，‎ 由三角形的面积公式得：‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即边上的高 ‎9．如图,在四边形中, 平分,‎ 的面积为为锐角.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求 .‎ ‎【答案】(1)3；(2)45°.‎ 试题解析：‎ ‎(1)在中,‎ ‎.‎ 因为,所以.‎ 因为为锐角,所以.‎ 在中,由余弦定理得 ‎= =‎ 所以CD的长为.‎ 即,①‎ 在中,由正弦定理得,‎ 即,②‎ ‎   平分, ,‎ 由①②得 ,解得,‎ 因为为锐角,所以 ‎10．如图，在中，点在边上，且， ， ， .‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：(1)由题意可知， ，设，则， .利用余弦定理即可求出的值； (2) 在中，由，得，故，‎ 在中，由正弦定理可得： ，从而得到的值.‎ ‎（Ⅱ）在中，由，得，故 ‎，‎ 在中，由正弦定理 ‎，‎ 即，故，‎ 由，得，‎ ‎.‎ ‎11．在如图四边形中， 为的内角的对边，且满足.‎ ‎(Ⅰ)证明： 成等差数列； ‎ ‎(Ⅱ)已知 求四边形的面积.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式及正弦定理易证成等差数列；（2）四边形的面积可视为 ，其中为， 可用正弦面积公式表示.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) 在中，由余弦定理有即 ‎,即则 为.‎ 由于 ‎ ‎.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.‎ ‎12．中，内角所对的边分别为. 已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若， ，设为边上的点， ，求边及长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件得=，所以，可得。（2）由余弦定理得，解得，从而，在，可得=。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，‎ 所以=,‎ 所以,‎ 又，‎ ‎∴。‎ ‎（2）在，‎ 所以 整理得 解得.‎ 在 又在，‎ 所以==。‎ ‎13．如图，已知是内角的角平分线.‎ ‎（1）用正弦定理证明： ；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据是的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立； （2）根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长．‎ ‎（2）根据余弦定理，cos∠BAC=‎ 即cos120°=‎ 解得BC= ‎ 又=‎ ‎∴=，‎ 解得CD=，BD=；‎ 设AD=x，则在△ABD与△ADC中，‎ 根据余弦定理得，‎ cos60°=‎ 且cos60°=‎ 解得x=，即AD的长为．‎ ‎14．已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小； ‎ ‎（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由条件及余弦定理可得，从而得到．（Ⅱ）画出图形，在△ADC中由正弦定理得，又，故，因此，根据角平分线得到，所以△ABC是等腰三角形，再根据三角形的面积公式求解．‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ) ，依题意画出图形．在△ADC中，AC=b=，AD=，‎ ‎ ‎ ‎15．在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角AC边长为BC边长的倍，三角形ABC的面积为S（千米2）.‎ 试用和表示；‎ ‎（2）若恰好当时，S取得最大值，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设边 ，则 ，由余弦定理求出，则面积；（2）对进行求导，得到，则当 时，面积最大，此时解得。‎ ‎（2）因为 ，‎ ‎ ，‎ 令 ，得 ‎ 且当时， ， ，‎ 当时， ， ，‎ 所以当时，面积 最大，此时 ，所以，‎ 解得 ，‎ 因为 ，则.‎ 点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。‎ ‎16．如图，在中， ，点在边上， ， 为垂足.‎ ‎（1）若的面积为，求的长；‎ ‎（2）若，求角的大小.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】（1）由题意，根据三角形的面积公式，求出，再根据余弦定理得，求出的值，由，求得的值；（2）由题意，根据角的正弦值，得，由题意，又根据正弦定理，即，从而可求得角的值. ‎ ‎（2）∵，∴ ，‎ 在中，由正弦定理可得.‎ ‎∵，∴，∴ .‎ ‎∴.‎ 点睛：此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找合适的正弦定理、余弦定理，从而解决问题.‎