2017-2018学年山西省阳高县第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版
2017-2018学年山西省阳高县第一中学高二下学期第一次月考数学（理）
( 总分：150 时间：120分钟）
一、 选择题（共12题，每小题5分）
1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则当n＝2时，f(n)是( )．
A．1＋ B.
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
2. 若函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为( )
A.f′(x0) B.2f′(x0)
C.-2f′(x0) D.0
3 若曲线y=xα+1(α∈R)在(1，2)处的切线经过原点，则α=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，则a的值等于( )
A. B.
C. D．1
5．下列说法正确的是( )
A．“a
4 B．－41时，x2＋lnx0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
高二数学（理） ( 总分：150 时间：120分钟）
一、 选择题（共12题，每小题5分）
1．答案 C 2【解析】选B. 3.【解析】选B.
4．【答案】 D 5． [答案] C 6.答案A
7、答案：D 8．【答案】 C 9．【答案】 A
10【答案】 D 11．答案：B 12．[答案] D
二、 填空题（共4小题，每小题5）
13．答案 ①② 14： 15．[答案] ＋ln2 16、【答案】
三、解答题(共6题)
17．利用导数和三段论证明：函数在（-∞，1）上是增函数。（必须用三段论，否则0分）
略
18．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值为。
【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(00，当x∈(，10)时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.
【答案】 π cm3
19．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－3a.
因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.
当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>1时，x2＋lnx0}，
∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0， ∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
(2)设g(x)＝x3－x2－lnx， ∴g′(x)＝2x2－x－，
∵当x>1时，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∴g(x)>g(1)＝>0， ∴当x>1时，x2＋lnx0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
解 (1)f′(x)＝－a (x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.[4分]
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[5分]
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.[6分]
②当≥2，即0
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