安徽省蚌埠市2020届高三下学期第四次教学质量检查考试 数学（理） PDF版含答案

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蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 1页（共 4 页） 蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试 数 学（理工类） 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的 A、B、C、D 的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的） 1． 已知 i 2 iz   ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2． 已知集合    26, 3, 2,1,2,3,5 , 5 6 ,A B x x x x        Z ，则 A B  A. 2,3,6  B. 3,2 C. 5,1 D. 5,3,2,1 3．已知命题 π: 0, , sin2p x x x      ，则 p 为 A. π0, , sin2x x x      B. π0, , sin2x x x      C. 0 0 0 π0, , sin2x x x      D. 0 0 0 π0, , sin2x x x      4．已知 3.0 3 13 3,2log2， 3 1log  cba ,则 A. cba  B. bca  C. bac  D. acb  5. 2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓， 中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸 易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商 务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策 部署，出台了一系列政策举措，全力营造 法治化、国际化、便利化的营商环境，不断 提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质 量、转动力取得阶段性成效，进出口保持 稳中提质的发展势头，右图是某省近五年 进出口情况统计图，下列描述错误．．的是 A．这五年，2015 年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2019 年进口增速最快 6. 函数    tan lnf x x x x  在          2 π,00,2 π 内的图象大致是 第 5 题图 蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 2页（共 4 页） 7．已知双曲线   2 2 2: 1 0yC x bb    右焦点为 F ，圆 2 2 1x y  与双曲线 C 的渐近线在第一象 限内的交点为 M，△OMF 面积为 2 ，则双曲线C 的渐近线方程为 A. 2 2y x  B. 2y x  C. 2 2y x  D. 2 4y x  8．在△ ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若 2BD DC  ，且 BE xAB yAC    ， 则 x y  A. 2 3  B. 1 2  C. 1 3 D. 1 3  9. 北京 2022 年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪 白；间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿；辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色 彩设计要求：主色至少一种、至多两种，间色两种、辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配 中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的概率为 A. 8 225 B. 2 45 C. 1 15 D. 2 15 10. 已知函数    3 sin cos Rf x x x x   ，将  xfy  的图象上所有点的横坐标缩短到原来 的 2 1 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 π 6 个单位长度，得到  xgy  的图象，则以下关于函数  xgy  的结论正确的是 A. 若 1 2,x x 是  g x 的零点，则 1 2x x 是 2π 的整数倍 B. 函数  g x 在区间 π π,4 4     上单调递增 C. 点 3π ,04      是函数  g x 图象的对称中心 D. π 3x  是函数  g x 图象的对称轴 11. 已知正方体 1111 DCBAABCD  棱长为 4， P 是 1AA 中点，过点 1D 作平 面 α ，满足 CP ⊥平面 α ，则平面 α 与正方体 1111 DCBAABCD  的截面 周长为 A. 4 5 6 2 B. 12 2 C. 8 2 8 D. 8 5 12. 已知 O 为坐标原点，抛物线 pxyC 2: 2  上一点 A 到焦点 F 的距离为 4，若点 M 为抛物线 C 准线上的动点，给出以下命题： ① 当△MAF 为正三角形时， p 的值为 2； ② 存在 M 点，使得 0MA MF   ； ③ 若 3MF FA  ，则 p 等于 3； ④ OM MA 的最小值为 2 13 ，则 p 等于 4 或 12. 其中正确的是 A. ①③④ B. ②④ C. ①③ D. ②③④ 第 11 题图 蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 3页（共 4 页） 213)( 2  ii pxx 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若直线 y x a  是曲线  ln 2y x 的切线，则实数 a =_____________. 14.  8 2020 11 1x xx       的展开式中， 3x 的系数为_____________.（用数字回答） 15. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数  f x 满 足    2f x f x   ， 且 在  1,2 上 的 表 达 式 为   2 2xf x   ，则函数  f x 与   2log , 0, , 0, x xg x x x     的图象的交点的个数为_______. 16.在 ABC 中，设角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，若 sin sinsin 2 A CB  ，则 1 1 sin sinA C  的 最小值为________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 已知数列 na 和 nb ， 1 2a  ， 1 1 1 n nb a   ， 1 2n na b  ， (1) 证明： 1 2 nb      是等比数列； (2) 若 1 2 n n n n b bc  ，求数列 nc 的前 n 项和 nS . 18.（12 分） 某省为迎接新高考，拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分，再按赋分后的分数从 高分到低分划 A,B,C,D,E 五个等级，考生实际得分经赋分后的分数在 30 分到 100 分之间.在 等级赋分科学性论证时，对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析， 随 机抽取 2000 名学生的该学科赋分后的成绩, 得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生 的试卷) 附：若 2( , )X N   ，则   0.6826P X        ，  2 2 0.9544P X        ，  3 3 0.9974P X        ， 213 14.59 , 第 18 题图 蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 4页（共 4 页） （1）求这 2000 名考生赋分后该学科的平均分 x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，学生经过赋分以后的成绩 X 服从正态分布 2( , )X N   ， 其中  近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s . (i)利用正态分布，求 (50.41 79.59)P X  ， (ii)某市有 20000 名高三学生，记Y 表示这 20000 名高三学生中赋分后该学科等级为 A 等 （即得分大于 79.59 ）的学生数，利用(i)的结果，求 EY . 19.（12 分） 如图，等腰直角三角形 ABC 所在的平面与半圆弧 AB 所在的平面 垂直， AC AB ， P 是弧 AB 上一点，且 30PAB . (1) 证明：平面 BCP 平面 ACP ； (2) 若Q 是弧 AP 上异于 PA, 的一个动点，当三棱锥 APQC  体积最大时，求二面角 CPQA  的余弦值. 20.（12 分） 已知 M 是椭圆 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    （ ）上一点， 1 2,F F 分别为椭圆 C 的左、右焦点，且 1 2 2F F  ， 1 2 π 3F MF  ，△ 1 2F MF 的面积为 3 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 过椭圆 C 右焦点 2F ，交该椭圆于 A，B 两点，AB 中点为 Q ，射线OQ 交椭圆于 P ，记△ AOQ 的面积为 1S ，△ BPQ 的面积为 2S ，若 2 13S S ，求直线 l 的方程. 21.（12 分） 已知函数   e 1 sinxf x a x   （a∈R). （1）当  0,πx 时，   0f x  恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 1a  时，数列 na 满足： 0 1na  ，  1n na f a  ，求证： na 是递减数列. (参考数据：sin1 0.84 ) （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是正方形，其中 (2,0)A ， (0,2)C ，以O 为极点， x 轴 的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 2cos  . （1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程； （2）点 Q 是曲线 E 上的动点，求 22 QCQA  的取值范围. 23.[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 2 1| 2 | |f x x x a    （1）若 1a   ，求 ( )f x 的最大值； （2）若 ( ) 2 0f x   恒成立，求 a 的范围. 第 19 题图 蚌埠市高三年级数学（理）答案第 1页（共 4 页） 蚌 埠 市 20 2 0 届 高 考 模 拟 考 试 数学（理工类）参考答案及评分标准 一、选择题： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C D D B C A A B B D A C 二、填空题： 13. ln 2 1 14. 98 15. 6 16. 4 3 3 三、解答题： 17.（本题满分 12 分） 解：（1） 1 1 1 n nb a   ， 1 2n na b  ,  212 11 1   nbb nn ,         21 2 121 1nn bb , …………………2 分 又 21 a ， 111 11  ab ，解得 2 121,3 2 1 1  bb ， …………………3 分  1 2 nb      是以 2 1 为首项， 2 1 为公比的等比数列. …………………5 分 (2) 由（1）知 nn nb           2 1 2 1 2 121 1 ，则 12 2 1   n n nb ，……………6 分    12 1 12 1 1212 2 2 2121 1 1     nnnn n n nn n bbc ，                           12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 214332 nnnS  12 1 3 1 2   n 18.（本题满分 12 分） 解：（1）依题意， 35 0.05 45 0.1075 55 0.19 65 0.3 75 0.2x           85 0.1025 95 0.05    ……………………………… 2 分 65 ………………………………4 分 （2）(i)由（1）可知， (65,213)X N ， …………………………………6 分 所以  (50.41 79.59) 0.6826P X P X           ………8 分 …………………8 分 …………………12 分 蚌埠市高三年级数学（理）答案第 2页（共 4 页） .31741587.020000 人所以 EY (ii)因为  1( 79.59) 0.15872 P XP X           ， …………10 分 ……………………………………12 分 19.（本题满分 12 分） 解：（1）∵平面 ABC⊥平面 ABP，AC⊥AB, 平面 ABC∩平面 ABP=AB， ,ABCAC 平面 ,ABPAC 平面 …………………………………………………2 分 又 ,, BPACABPBP  平面 ………………………3 分 ,, BPAPAB 为直径 又 ,, AAPACBPAC   ,ACPBP 平面 ……………………………………………………5 分 又 ., ACPBCPBCPBP 平面平面平面  …………………………6 分 （2） ,, ACPACAPQAC 平面平面  ∴平面 ACP⊥平面 AQP 当三棱锥 C-APQ 体积最大时，Q 为 AP 的中点. ………………7 分   πPAB AQ QP BP  ＝ ， ＝ ＝6 ，且 3 πQAB 设 AB AC＝ ＝4，则 2 3AQ BP AP＝ ＝2， ＝ ， 故以 A 为原点， ABAC, 分别为 x 轴，y 轴正方向， 建立空间直角坐标系 xyzA 则        0,0,0 , 4,0,0 , 0,1, 3 , 0,3, 3A C Q P ，      4,0,0 4, 3, 3 0, 2,0AC PC PQ       ， ， ， …………………9 分 设平面 PQC 的法向量为  , ,x y zm ， 则 0 0 PC PQ        m m ，即 3 3 0 2 0 x y z y       4 ， 可得平面 PQC 的一个法向量  3, , 0 4m ，易知 AC  为平面 APQ 的一个法向量， 4 3 57cos , 194 3 0 16 ACAC AC         mm m ， …………………11 分 ​ A PQ C二面角 － － 的余弦值为 57 19 . ………………12 分 20.（本题满分 12 分） 解：（1）由 1 2 2F F  可知 1c  .设 ,, 21 nMFmMF  则 2m n a  . 由 1 2 π 3F MF  与 1 2 3F MFS  ,可得 1 sin 32 3mn   ，即 4mn  ， ………2 分 又在△ 1 2F MF 中结合余弦定理得， 2 24 2 cos 3m n mn    ， 即 24 ( ) 3m n mn   ，得 4m n  ， ……………………………4 分 所以 2a  ，故 2 3b  ，所以椭圆 C 的方程为 2 2 14 3 x y  . ………………6 分 蚌埠市高三年级数学（理）答案第 3页（共 4 页） （2） 2 13 ,S S 1 1| || | sin 3 | || | sin2 2PQ QB BQP OQ QA AQO   ∴ | | 3| |PQ OQ即 | | 4 | | 4 ,P QOP OQ x x ∴ ，从而 ……………………………8 分 当 AB 斜率不存在时， 1 2S S ，不符合题意； 当 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为  1y k x  ， 设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 2 1 1 2 2 2 2 14 3 14 3 x y x y       ， 两式作差可得 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 y y y y x x x x      ，即 3 4AB OPk k   ，即 3 4OPk k   . 故直线OP 的方程为 3 4y xk   . ……………………………………10 分 联立 2 2 3 4 14 3 y xk x y       ，解得 2 2 2 16 3 4P kx k   ；联立  1 3 4 y k x y xk     ，解得 2 2 4 3 4Q kx k   ； 因为 4 ,P Qx x 所以 2 2 2 43 44 43 4 k k k k   ，解得 1 2k   ， 直线 AB 方程为  1 12y x   . ………………………………………12 分 21.（本题满分 12 分） 解：（1）因为  0,πx ，    e cos , e sinx xf x a x f x a x     . ① 当 0a  时，即 0a  ， sin 0, sin 0x a x   ， 又 e 1 0x   ， e 1 sin 0x a x    ， 即   0f x  恒成立，符合题意； …………………………………2 分 ② 当 0 1a  时，   e sin 0xf x a x     f x 在区间 0,π 单调递增，    0 1 0, '(0) 0f a f x f       ，  f x 在区间 0,π 单调递增，    0 0, (0) 0f f x f    ，符合题意； ……………………………………4 分 ③ 当 1a  时，   e sin 0xf x a x     f x 在区间 0,π 单调递增，   π 2π0 1 0, =e 02f a f         ，    0 00,π , 0x f x  使 ，且    00 , 0,x x f x f x  当 时 单调递减，    0 π , 0,x x f x f x  当 时 单调递增，    0 0 0f x f   ，不符合题意； 综上所述， a 的范围是 ,1 . …………6 分 （2）由题意， 1a  ，    e 1 sin , 0,1xf x x x    ， 令     e 1 sinxg x f x x x x      ，   e cos 1xg x x    ， 蚌埠市高三年级数学（理）答案第 4页（共 4 页）   e sin 0xg x x    ，  g x 在区间 0,1 单调递增， ………………………8 分 011cos)1(,01)0(  egg ，    1 10,1 , 0x g x  使 ，    10 , 0,x x g x g x   单调递减，    1 1, 0,x x g x g x   单调递增，    0 0, 1 e 1 sin1 1 e 2 0.84 0g g         ，   0g x  ，即当    0,1 ,x f x x  ， …………………………………10 分 由（1）知    e 1 sin , 0,1xf x x x    单调递增， 0 1na  ， 10 (0) ( ) (1) 1 sin1 1n nf a f a f e       ∴ 而 ,0)(1  nnnn aafaa 即 1n na a  ，故 na 是递减数列. ………………12 分 22. （本题满分 10 分） 解：（1）由 2cos  ，得 2 2 cos   从而 2 2 2x y x  ， 故曲线 E 的直角方程为 1)1( 22  yx . …………3 分 （注：不化为标准形式不扣分） 而直线 AC 的普通方程为 2x y  , 所以其极坐标方程为 cos sin 2     . ………………………………5 分 （2）因为点 Q 在曲线 E 上，所以可设其坐标为 (1 cos ,sin )  ，………………6 分 则 2 2| | | |QA QC 2 2(cos 1) (sin )    2 2(1 cos ) (sin 2)     8 4sin  . ………8 分 因为 1 sin 1   ，所以 2 24 | | | | 12QA QC   ， 所以 2 2| | | |QA QC 的取值范围是[4,12] . …………………………………10 分 23. （本题满分 10 分） 解：（1）当 1a   时， ( ) | 2 1| 2| 1|f x x x    ， …………………………………1 分 所以，当 1x   时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x      ； …………………………2 分 当 11 2x   时， ( ) 2 1 2 2 4 1 3f x x x x         ； …………………3 分 当 1 2x  时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x      . …………………………………4 分 所以 ( )f x 的最大值为 3. ………………………………………………………5 分 （2）因为 ( ) | 2 1| 2| | | 2 1| | 2 2 |f x x x a x x a        | (2 2 ) (1 2 ) | |1 2 |x a x a      ， ………………………………7 分 当 x=a 时等号成立. 依题意|1 2 | 2a  ， 所以 1 3[ , ]2 2a  . …………………………………………………………10 分 （以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）