- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
www.ks5u.com 江苏省常州市“教学研究合作联盟” 2019-2020学年度第一学期期中质量调研 高一数学试卷 一、单选题:本大题共12小题,每小题5分,共60分 1.已知集合,,的子集个数为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合的交集,进而可求得交集的个数. 【详解】由题意,,故的子集个数为. 故选:C. 【点睛】集合有个元素,则它的子集有个. 2.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可. 详解】由题意可得,,解得. 故选:B. 【点睛】求函数定义域要注意: ①分母不为零; ②偶次根式的被开方数非负; ③对数的真数部分大于零; ④指数与对数的底数大于零且不等于1; ⑤函数中 ⑥中. 3.已知函数与分别由下表给出,则( ) 1 2 3 4 3 9 2 3 4 2 1 3 A. 4 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 由表中数据可求得的值,进而可求得的值. 【详解】由题意,,则. 故选:A. 【点睛】本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题. 4.己知函数(,且)的图象恒过定点A,则A的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由,将代入函数表达式,可求出答案. 【详解】由函数(,且)的图象恒过定点, 对函数,令,可得, 故函数的图象恒过定点. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题. 5.函数的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题易得,结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】由题意知,,,,,, 因为,所以是函数的零点所在的一个区间. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题. 6.函数的大致图象为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域,可排除A,C,再由时,,可排除B,从而选出答案. 【详解】函数的定义域为,可排除A,C; 当时,,显然只有D符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题. 7.若幂函数的图象经过点,则( ) A. 9 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出幂函数的解析式,将点代入,可求得的解析式,进而可求得. 【详解】由题意,设,则,解得. 所以,. 故选:D. 【点睛】本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题. 8.已知,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出的大小. 【详解】由指数函数的单调性可得,,,即,, 由对数函数的单调性可得, ,即, 所以. 故选:A. 【点睛】本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题. 9.已知是定义在上的奇函数,且当时,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由,结合函数是定义在上的奇函数,可得,求出即可求得答案. 【详解】由题意,, 因为函数是定义在上的奇函数,所以, 当时,,则,故. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 10.“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛,当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒时弓箭距离地面的高度为x米,可由确定,已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米,则可能达到的最大高度为( ) A. 135米 B. 160米 C. 175米 D. 180米 【答案】D 【解析】 【分析】 将,,代入,可求得的值,进而结合二次函数的性质,可求得的最大值. 【详解】由题意,当时,,代入,可得,解得,则,当时,取得最大值. 故选:D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题. 11.已知函数的定义域为,对于任意,都满足,且对于任意的,当时,都有,若,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得,函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,在上单调递增,结合,可得,求解即可. 【详解】由题意,函数对于任意的,当时,都有,则函数在上单调递减, 又定义域为,且满足,即函数为偶函数,故函数在上单调递增. 由,可得,即或者,解得或. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题. 12.已知函数,,两者的定义域都是,若对于任意,存在,使得,,且,则称,为“兄弟函数”,已知函数,是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为( ) A. 3 B. C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值. 【详解】由题意,,易知在上单调递减,在上单调递增, 则在上的最小值为. 所以在时取得最小值3. 故函数满足,解得, 则, 故当时,取得最大值为. 故选:C. 【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 二、填空题:共4题,每题5分,共20分 13.若集合,,且,则实数m的取值范围为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 先求得集合,再由可列出不等式,进而可求得答案. 【详解】由题可知,, 因为,,所以,即. 故答案为:. 【点睛】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题. 14.已知函数在R上为偶函数,且时,,则当时,________. 【答案】 【解析】 【分析】 当时,,可求得的表达式,再由在R上为偶函数,可得, 从而可求出时,的表达式. 【详解】当时,,则, 又函数在R上为偶函数,则, 故当时,. 故答案为:. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题. 15.已知函数在上是单调递增函数,则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 结合是否等于0进行分类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案. 【详解】当时,是上的增函数,显然符合题意; 当时,是二次函数,由函数在上是单调递增函数,可得,解得. 综上,实数a的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题. 16.已知,函数,若对于任意的,恒成立,则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 分和两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a的范围. 【详解】对于任意的,恒成立, 当时,,即, 因为,所以,则; 当时,,即, 令,则在上单调递增,在上单调递减,,,故,则. 所以,实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了分段函数性质,利用参变分离及二次函数的性质是解决本题的关键,属于基础题. 三、解答题:本大题共5小题,共70分 17.(1)已知,化简:; (2)求值: 【答案】(1)7;(2)3. 【解析】 【分析】 (1)结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可; (2)结合对数的运算性质,进行化简即可. 【详解】(1),又,. ,, ∴. (2). 【点睛】本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题. 18.设,,. (1)若,求; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 (1)由集合可求得,再由可得到集合,然后将集合与取并集即可; (2)由可知,进而可得,求解即可. 【详解】(1)由,则或, ,则, 所以. (2)由,则, 可得,解得. 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 19.已知函数是奇函数. (1)求实数m的值; (2)求证:函数在上是单调增函数. 【答案】(1);(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)先求出函数的定义域,再由是奇函数,可得对于定义域内的任意 恒成立,即,从而可求得实数m的值; (2)利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤. 【详解】(1)由题意,,解得,所以的定义域为, 由是奇函数,则对于定义域内的任意恒成立. 则,即, 即,则, 因为该式对于定义域中的任意都成立,所以. 经检验,时,是奇函数. (2)证明:在内任取,且, , ∴,,, ,在上单调递增. 【点睛】本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题. 20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋,每双标价为800元,甲、乙两商场销售方式如下:在甲商场买一双售价为780元,买两双每双售价为760元,依次类排,每多买一双则所买各双售价都再减少20元,但每双售价不能低于440元;乙商场一律按标价的75%销售. (1)分别写出在甲、乙两商场购买双运动鞋所需费用的函数解析式和; (2)某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利,问:去哪家商场购买花费较少? 【答案】(1),;(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)结合甲商场的销售方式,可得时,去甲商场购买的单价为元,时,去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为元,进而可求出和的解析式; (2)分和两种情况,讨论和的大小关系,即可求出答案. 【详解】(1)由题意,, 由,可得当时,去甲商场购买运动鞋的单价为元,此时所需费用为;当时,去甲商场购买运动鞋的单价为440元,所需费用为元; 去乙商场购买运动鞋单价一直为元,所需费用为元. 则,. (2)当且时,成立; 当且时, 令,解得, 令,解得, 令,解得, 所以,该单位购买少于10双,去乙商场花费较少,若购买10双,则去两家商场花费相同,若购买超过10双,则去甲商场花费较少. 【点睛】本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 21.已知函数. (1)当时,作出函数的图象; (2)是否存在实数a,使得函数在区间上有最小值8,若存在求出a的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)图象见解析;(2)存在或满足条件,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)将代入,去绝对值,然后做出函数图象即可; (2)分,和三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在上的最小值,令其等于8,可求出答案. 【详解】(1)当时,, 图象见下图: (2)假设存在实数,使得函数在区间上有最小值8, ,. ①当时,, 函数的对称轴为, 在上单调递增, ,解得,符合题意; ②当时,不可能有最小值8(舍去); ③当时,, 是开口向下的二次函数,对称轴为, 只需比较和的大小, , 若,,此时在时取得最小值,即,解得,不符合题意,舍去; 若,,此时在时取得最小值,即,解得,符合题意. 综上,或. 【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题. 22.对于定义域为D的函数,如果存在区间,同时满足:①在内是单调函数;②当定义域是时,的值域也是,则称是该函数的“优美区间”. (1)求证:是函数的一个“优美区间”. (2)求证:函数不存在“优美区间”. (3)已知函数()有“优美区间”,当a变化时,求出的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【解析】 分析】 (1)结合“优美区间”的定义,可证明结论; (2)若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论; (3)函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值. 【详解】(1)在区间上单调递增, 又,,∴的值域为, ∴区间是的一个“优美区间”. (2)设是已知函数的定义域的子集. 由,可得或, ∴函数在上单调递减. 若是已知函数的“优美区间”,则, 两式相减得,,则, , 则,显然等式不成立, ∴函数不存在“优美区间”. (3)设是已知函数定义域的子集. 由,则或, 而函数在上单调递增. 若是已知函数的“优美区间”,则, ∴是方程,即的两个同号且不等的实数根. ,∴同号,只须, 解得或, , ∴当时,取得最大值. 【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题. 查看更多