2018届二轮复习 空间的平行与垂直问题 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 空间的平行与垂直问题 学案（ 江苏专用）

专题13：空间的平行与垂直问题 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎,3,5‎ ‎1．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，若D，E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB‎1C1．‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ D ED 提示：法一：用线面平行的判定定理来证：‎ ‎“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．‎ ‎“中心投影法”：取B为投影中心，延长BD与B‎1C1交于M，利用 三角线中位线证DE∥AM．‎ 法二：用面面平行的性质 ‎ 取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB‎1C1．‎ A1‎ D1‎ A B C D B1‎ C1‎ ‎2．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面B1D‎1C 提示：用面面平行的判定定理证：‎ ‎ 证明BD∥B1D1，A1B∥D1C．‎ A1‎ D1‎ A B C D B1‎ C1‎ M·‎ O ‎3．在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O．‎ ‎（1）求证：A1O⊥平面MBD；‎ ‎（2）若AB＝2，求点B1到平面BDM的距离．‎ 提示：用线面垂直的判定定理：‎ ‎ 证BD⊥平面AA1C1C，从而得出BD⊥A1O；‎ ‎ 在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM；‎ ‎ ‎ C D B A P ‎4．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD．‎ 求证：平面PBD⊥平面PAC．‎ 提示：设BD与AC交于点O，证BD⊥AC，BD⊥OP，‎ ‎ 从而得出BD⊥平面PAC．‎ B C A V ‎5．如图，已知VB⊥平面ABC，侧面VAB⊥侧面VAC，求证：△VAC是直角三角形．‎ 提示：过B作BD⊥VA，垂足为D，‎ ‎ 由侧面VAB⊥侧面VAC，得出BD⊥侧面VAC，从面BD⊥AC，‎ ‎ 由VB⊥平面ABC，得AC⊥VB，从而AC⊥平面VAB．‎ ‎ 所以AC⊥VA．‎ 二、方法联想 ‎1．证明线面平行 或 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ P A ‎ B ‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ A B ‎ P ‎④‎ M ‎ N ‎ M ‎ N ‎ 方法1 构造三角形(中心投影法)．寻找平面内平行直线步骤：①在直线和平面α外寻找一点P（一般情况下，P为几何体的顶点）；②连接PA交平面α于点M；③连接PB交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①‎ A M N B 方法2：构造平行四边形(平行投影法) ．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线（投影方向通常选择几何体的棱所在直线的方向，大多数情况是取点连接）和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．‎ ‎①‎ ‎②‎ A B C A′‎ C′‎ 方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A做AC平行于平面α内一条直线A′C′；②连结BC；③平面ABC即为所要找的平行平面．‎ 证明线线平行的常见方法有 ‎ 方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形；‎ 方法3：利用相似三角形平行线段成比例；方法4：利用平行公理．‎ 已知线面平行 m l α 方法 过直线l作（找）平面β交已知平面α于直线m，则l∥m．‎ ‎【变式】（1）如图所示，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，D、E是棱CC1，AB的上的点，且AE＝AB，‎ A B C D E P H G 若DE∥平面AB‎1C1，求的值．‎ ‎（已知线面，转化为线线平行）‎ ‎（2）E，P，G，H分别是四面体的棱ABCD的棱N AB、CD、CA、CB的中点，‎ 求证：PE∥平面PGH．‎ ‎（通过面面的平行证明线面平行）‎ ‎2．面面平行证明 ‎ 方法 在一个平面内寻找两条相交直线，证明与另一个平面平行．‎ 注意 证面面平行只有一个定理，不可以用线线平行来证面面平行．‎ ‎【变式】在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是A‎1A的中点．点F在棱CC1上，使得平面EB1D1∥平面BDF．‎ ‎ 求证：点F为棱CC1的中点．‎ ‎3．证明线面垂直 A B l C ‎①‎ ‎②‎ 方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直．‎ 证明线线垂直的常见方法有 ‎ 方法1：利用线面垂直；方法2：利用线线平行；‎ 方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一；‎ 方法5：利用菱形对角线互相垂直；‎ ‎ 求点到平面的距离 ‎ 方法1 找出或作点到平面的垂线段，先证明，再计算．‎ ‎ 方法2 利用棱锥体积法，将点到平面的距离转化为某一三棱锥的高，利用等体积法求解，即 S1h1＝S2h2‎ ‎【变式1】在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1B⊥C D．‎ A1‎ B C C1‎ B1‎ D A ‎【变式2】在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中， D为BB1的中点， A1B⊥CD，求证：AA1＝AB．‎ ‎【变式3】（1）在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AC交BD于O，点M在棱CC1上，且A1O⊥平面MBD，‎ 求证：M为棱CC1的中点．‎ ‎（线面垂直得线线垂直）‎ ‎（2）在四面体ABCD中，AD⊥BC，CA＝CB＝CD＝1，BD＝，则△ABC的面积为_____．‎ ‎（计算证明线线垂直）‎ ‎（3）在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝AC，AB1⊥BC1，求证：A‎1C⊥BC1．‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ ‎ （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 垂直转化为线面的垂直）‎ ‎4．证明面面垂直 关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．‎ 找垂线的一般方法：‎ ‎（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；‎ ‎（2）找（或作）两平面交线的垂线．‎ ‎（3）直接寻找其中一个平面的垂线．‎ 已知面面垂直 优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．‎ P A B C D ‎【变式】在四棱锥P－ABCD中，CD^平面PAD，△PAD是正三角形，DC//AB，DA＝DC＝2AB．‎ 求证：平面PBC^平面PDC.‎ ‎（存在第三个面与其中一个面垂直）‎ 提示1：取PD中点M，则AM⊥平面PDC，下面只需将AM平移到平面PBC内．‎ 提示2：作出平面PAD与平面PBC的交线PN，只需证明PN⊥平面PDC．‎ 三、例题分析 A C D B E P F 例1．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB． ‎ ‎ (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；‎ ‎(2)求证：CE∥平面PAB．‎ 证明：(1)在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，‎ ‎ ∴AC＝2AB，又∵PA＝2AB，∴AC＝PA，‎ ‎ ∵F为PC的中点，∴AF⊥PC；‎ ‎ ∵PA⊥平面ABCD，CDÌ平面ABCD，∴PA⊥CD，‎ ‎ ∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC， AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC，‎ ‎ ∵PCÌ平面PAC，∴CD⊥PC，‎ ‎∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC，‎ A C D B E P F ‎∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．‎ ‎ (2)提示：‎ ‎①中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CE∥PG．‎ ‎ ②平行投影法：取PA中点M，过C作CN∥AD交AB于N．‎ ‎ 证四边形CEMN是平行四边形，从而得CE∥MN．‎ ‎ ③面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH∥平面PAB．‎ ‎【教学建议】‎ ‎ 1．首先要认识立体图形，即四棱锥底面的形状，顶点与底面的关系，这是证题关键．‎ ‎2．立体几何中证明位置关系的方法并不多，对立体图形了解越多，方法就越简单，也很容易找到平行线、垂线、垂面等． ‎ 例2．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．‎ C E A B D F ‎ （1）求证：AB∥EF；‎ ‎ （2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．‎ 证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，‎ 因为平面CDEF，平面CDEF，‎ 所以AB∥平面CDEF． ‎ 因为平面ABFE，平面平面，‎ 所以AB∥EF． ‎ ‎（2）因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以DE⊥BC． ‎ 因为BC⊥CD，，平面CDEF，‎ 所以BC⊥平面CDEF． ‎ 因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF． ‎ ‎【教学建议】‎ ‎1．线面平行的性质定理，是学生的薄弱点，它的使用是唯一的，需要找到一个过线的平面即可．这方面就加强训练．特别注意五面体是由五个平面围成的一个几何体． ‎ ‎ 2.证明面面垂直方法3，直接找其中一个平面的垂线．‎ 例3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．‎ ‎ (1)求证：AD⊥PC；(2)求三棱锥P－ADE的体积；‎ A B D C E P ‎(3)在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．‎ 证明(1)∵ PD⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，∴PD⊥AD，‎ ‎ ∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥DC，又PD∩DC＝D，‎ ‎ ∴AD⊥平面PDC，PCÌ平面PDC，‎ ‎ ∴AD⊥PC；‎ ‎ (2)由(1)知AD⊥平面PDC，∴AD的长为A到平面PDE的距离，‎ ‎ 在直角三角形PDC中，E为PC中点，PD＝DC＝4，‎ ‎ ∴S△PDE＝4，∴VP－ADE＝VA－PDE＝×S△PDE×AD＝×4×2＝．‎ ‎ (3) 当M为AC中点时，PA∥平面EDM，‎ 即在线段AC上存在一点M，使得PA∥平面EDM．‎ ‎∵M为AC中点，E为PC中点，∴EM∥PA，又PAË平面EDM，EMÌ平面EDM，‎ ‎∴PA∥平面EDM．‎ 此时AM＝AC＝＝．‎ ‎【教学建议】‎ ‎1．本题主要涉及证明线线垂直，体积计算与探究命题成立的条件，要分清PA∥平面EDM是条件还是结论．‎ ‎2．证明空间两条异面直线垂直问题，通常是证明一条直线垂直与另一条直线所在的一个平面；‎ ‎ 多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积．‎ ‎3．对命题条件的探索常采用以下三种方法：‎ ‎ ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；‎ ‎②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；‎ 四、反馈练习 ‎１．空间四边形ABCD的两条对角线AC和BD的长分别为8和6，它们所成的角为90°，AB，CD的中点分别为M，N，则MN的长为　　　　　　．‎ 答案：５‎ ‎(考查：空间中直线的平行与垂直)．‎ ‎２. 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD∩平面BCE＝BC，点F在BE上，当＝　　　时，有DE∥平面ACF．‎ 答案：２‎ ‎(考查：线面平行的性质定理)．‎ P C D B A ‎３．已知P－ABC为正三棱锥，D为BC的中点，则直线BC与平面PAD的位置关系是　　　　　　．‎ 答案：垂直 ‎(考查：线面垂直的判定定理)．‎ ‎４．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝2，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为　　　　　　．‎ 答案：‎ ‎(考查：线面垂直的性质，点到直线的距离)．‎ P Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｍ ‎５．如图，PA⊥菱形ABCD所在的平面，M是PC上的一个动点，当点M满足　　　　　　　时，平面MDB⊥平面PCD．‎ 答案：或 ‎(考查：线面垂直，面面垂直的判定定理)．‎ ‎6．已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，E为线段B‎1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为　　　　　　．‎ 答案： ‎(考查：线面垂直的判定定理，体积变换)‎ ‎７．如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．‎ ‎（1）证明：CM⊥DE；‎ ‎（2）在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.‎ 答案：(2)N为靠近A的三等分点 ‎(考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的性质；线面平行的 性质定理)．‎ ‎8．如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB^平面PAD，△PAD是正三角形， ‎ P A B C D O E DC//AB，DA＝DC＝2AB.‎ ‎（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；‎ ‎（2）求证：平面PBC^平面PDC.‎ 证 （1）因为OE∥平面PBC，OEÌ平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，‎ 所以AO∶OC＝AE∶EP． ‎ 因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.所以＝． ‎ ‎（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD．‎ 因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC．因为F为PC的中点，所以DF⊥PC. ‎ 因为AB^平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．因为DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．‎ 设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝a．‎ 在Rt△PAB中，PB＝a．在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝a．‎ 因为BC＝PB＝a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．‎ 在Rt△PFB中，FB＝a． ‎ 在△FDB中，由DF＝a，FB＝a，BD＝a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF．‎ 由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FBÌ平面PBC，所以DF⊥平面PBC．‎ 又DFÌ平面PCD，所以平面PBC^平面PDC． ‎ 法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MF∥DC，MF＝DC．‎ 因为DC//AB，AB＝DC，所以MF∥AB，MF＝AB，‎ 即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF． ‎ 在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．‎ 因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．又因为DC//AB，所以DC⊥AM．‎ 因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．‎ 又因为PD∩DC＝D，PD、DCÌ平面PCD，所以BF⊥平面PCD． ‎ 因为BFÌ平面PBC，所以平面PBC^平面PDC. ‎ ‎(考查：线面平行的性质定理；面面垂直的判定定理)‎ P A B C O E F G ‎９．如图，平面PAC⊥平面ABC，点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO 的中点，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2．‎ 求证：（1）PA⊥平面EBO；‎ ‎（2）FG∥平面EBO．‎ ‎(考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理；线面平行 的判定定理，面面平行的性质)．‎ ‎10．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC，如图所示．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面CDE；‎ ‎(2)求证：FG∥平面BCD；‎ ‎(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．‎ 答案：（3）‎ ‎(考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理；‎ 面面垂直的判定定理和性质定理)．‎ ‎11．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝．‎ ‎(1)求证：平面BCF∥平面AED；‎ ‎(2)若BF＝BD＝a，求四棱锥ABDEF的体积．‎ 答案：（２）a3‎ ‎(考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式)．‎ ‎１2．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面A′ACC′；‎ ‎(2)求三棱锥A′－MNC的体积．‎ 答案：（２） ‎(考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换)‎