2017-2018学年重庆市九校联盟高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年重庆市九校联盟高二上学期期中考试数学试题

‎2017-2018学年重庆市九校联盟高二上学期期中考试 数 学 试 题 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.的斜二测直观图如图所示，则的面积为( )‎ A． B. C. D.‎ ‎4. 对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l ( )‎ A.平行 B. 垂直 C. 相交 D.互为异面直线 ‎5.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过( )‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 ‎6.直线，若,则（ ）‎ A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或-2‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是　(　　)‎ A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 ‎ C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0‎ ‎9.如右题图所示，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段 上运动时，下列结论中不恒成立的是( )‎ A. ∥ B. ∥面 ‎ C. ⊥ D. 与异面 ‎10. 直线L过点，若到直线L的距离为2，则直线L的方程为（ ）‎ A．或 B． ‎ C．或 D. ‎ ‎11.三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（ ）‎ A．4 B．3 C． D．‎ ‎12.如右题图所示，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则下列命题正确的是( )‎ ‎①⊥平面 ‎ ‎②‎ ‎③点是的垂心 ‎ ‎④平面 A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ ‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.两直线与之间的距离为 .‎ ‎14.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视 图、侧视图、俯视图均如右图所示，且图中的四边形是边长为2的正方 形，则该球的表面积是_______ 。‎ ‎15. 当a取不同实数时，直线恒过一个定点，这个定点的坐标为 。‎ ‎16.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 。‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎17.（10分）在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：‎ ‎(1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程；‎ ‎18.（12分）如图，棱柱 的侧面 是菱形， 。‎ ‎ （1）证明：平面 ；‎ ‎ （2）设D是 上的点且 ，求 的值。‎ ‎19.(12分)已知点，，,，点在线段垂直平分线上，求 ‎（1）求线段垂直平分线方程。‎ ‎（2）求使取得最小值时点的坐标。‎ ‎20.（12分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，面⊥面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．‎ ‎(1)求四棱锥的体积；‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21.（12分）如图所示，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面， .‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）（文科生做）求四棱锥的表面积；‎ ‎（3）（理科生做）求二面角的大小；‎ ‎22.（12分）已知直线L与两条平行直线和分别相交于M、N两点，且直线L过点A（1，0）。‎ ‎（1）若，求直线L的方程。 （2）求证：的值为定值。‎ ‎1.C 2.A 3D 4.B 5.C 6.A 7.A 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.解： (1)设C(x0，y0)，则AC中点M，BC中点N，….3分 ‎∵M在y轴上，∴=0，x0=-5。……..4分 ‎∵N在x轴上，∴=0，y0=-3。.即C(-5,-3)。………….6分 ‎(2)∵M，N(1,0)，∴直线MN的方程为=1，即5x-2y-5=0………4分.‎ ‎18. （1）∵四边形是菱形 ‎∴⊥……………………2分 又∵‎ ‎∴⊥平面………………4分 ‎∴平面………6分 ‎（2）若与相交于O，连接DO…………7分 ‎∵ ∴…………9分 又∵O为的中点 ∴D为的中点………11分 ‎∴的值为1……………………12分 ‎19.（1）线段CD中点为M，，………………..2分 ‎∴线段CD垂直平分线的斜率为………………….4分 ‎∴线段CD垂直平分线方程为：，即……….6分 ‎（2）设，……………..7分 则…..9分 当时，取得最小值，即P…………12分 ‎20.解：(1)由△是等边三角形，是线段的中点．‎ 所以PE⊥AB,面PAB面ABCD知：平面，…… 3分 所以是四棱锥高．由，，可得．因为△是等边三角形，可求得．‎ 所以．………6分 ‎（2）过C做CM⊥DE于M，连接CE、PM 所以∠CPM就为直线PC在平面PED上所成的角。………8分 因为 所以，而………10分 所以………12分 ‎21（1）取BC的中点F，连接AF交BD于E，连接PF 在梯形ABCD中，AF∥CD，则∠FAP为异面直线PA与CD所成角…………..2分 在△PFA中，‎ 则∠FAP=，∴异面直线PA与CD所成角为………………………………5分 ‎（2）（文科做）在梯形ABCD中，易求CD=，BD=，PD= PA=……7分 ‎∵BC=2‎ ‎∴CD⊥BD ∵PB⊥平面ABCD ∴PB⊥CD ∴CD⊥平面PCD ‎∴CD⊥PD ∴……………………9分 又∵DA//BC BC⊥AB PB⊥平面ABCD ‎∴都为直角三角形 ‎∴‎ ‎∵…………………………………………..11分 ‎∴四棱锥的表面积为：+++1+=………..12分 ‎（3）（理科做）连接AF交BD于E，过E作EG⊥PD于G，连接AG ‎∵PB⊥平面ABCD ‎∴平面PBD⊥平面ABCD……………………………………7分 在菱形ABFD中，AE⊥BD，则AE⊥平面PBD ‎∵BG⊥PD ‎∴AG⊥PD ‎∴∠AGE为二面角A-PD-B的平面角……………………10分 在△AGE中，则 所以，故二面角A-PD-B的大小为………….12分 ‎22.解：（1）若L的斜率不存在，方程为：‎ 则，与题意不符……………………….2分 若L的斜率存在，则设L的方程为：‎ 由可得 同理渴求，………………………………………4分 因为，所以；‎ 或；所以L的方程为：或………6分 ‎（2）由（1）题可知：斜率不存在时…………….8分 斜率存在时 综上述：的值为定值………………..12分