2020学年高二数学下学期第六次月考（期中）试题 理 人教 目标版

2020学年高二数学下学期第六次月考（期中）试题 理 人教 目标版

- 1 - 2019 第六次月考理科数学试卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟，请将答案填写在答题卡上） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180° 归纳出所有三角形的内角和都是 180°；③由 f(x)＝sinx，满足 f(－x)＝－f(x)，x∈R，推 出 f(x)＝sinx 是奇函数；④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和 是 540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ 2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时，应假设( ) A．三角形的三个内角都不大于 60° B．三角形的三个内角都大于 60° C．三角形的三个内角至多有一个大于 60° D．三角形的三个内角至少有两个大于 60° 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 4．一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直 线运动，则由 x＝1 运动到 x＝2 时 F(x)作的功为( ) A. 3 J B. 2 3 3 J C. 4 3 3 J D．2 3 J 5．设 a≠0，a∈R，则抛物线 y＝a x2 的焦点坐标为( ) A.（a 2 ，0） B．(0, 1 2a ) C. （a 4 ，0） D．(0, 1 4a ) 6．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增长到 原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( ) - 2 - 7．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8 8．函数 f(x)＝sinxcosx＋ 3 2 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 9．下面的程序运行后，输出的值是( ) i＝0 Do i＝i＋1 LOOP UNTIL 2^i＞2 000 i＝i－1 PRINT i END A．8 B．9 C．10 D．11 10．设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋b i 为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知双曲线 2 2 2 2 x y 1a b   (a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双 曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 12．已知 a>0，x，y 满足约束条件       )3( ,3 ,1 xay yx x 若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( ) A．1 4 B．1 2 C．1 D．2 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．若复数2－bi 1＋2i (b∈R)的实部与虚部互为相反数，则 b＝________. - 3 - 14．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点 火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒． 15．以原点 O 为圆心且截直线 3x＋4y＋15＝0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________． 16．有下列四个命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长 相等”的否命题；③若“b≤－1，则方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 有实根”的逆否命题；④若 p∨q 为假命题，则 p，q 均为假命题． 其中真命题的序号是__________．(把所有正确命题的序号都填上) 三、解答题 17．(10 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，且 cos A＝4 5 . （1）求 sin2 B＋C 2 ＋cos 2A 的值； （2）若 b＝2，△ABC 的面积 S＝3，求 a. 18．(12 分)从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量(单位：克)的频数分布表如下： 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率； （2）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个，其中重量在[80,85) 的有几个？ （3）在(2)中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率． 19． (12 分)已知函数 f(x)＝1 3 x3－ax2＋(a2－1)x＋b (a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处 的切线方程为 x＋y－3＝0. （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f(x)的单调区间，并求出 f(x)在区间[－2,4]上的最大值． 20．(12 分)如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝4，点 E 在 C1C 上，且 C1E＝3EC. （1）证明 A1C⊥平面 BED； （2）求二面角 A1－DE－B 的余弦值． - 4 - 21．(12 分)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，－ 3)、(0， 3)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A、B 两点． （1）写出 C 的方程； （2）若OA→⊥OB→，求 k 的值． 22．(12 分) 在各项为正的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝1 2 an＋1 an . （1）求 a1，a2，a3； （2）由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． - 5 - 拉萨中学高二年级（2019 届）第六次月考理科数学试卷 命题： （满分 150 分，考试时间 120 分钟，请将答案填写在答题卡上） 选择题答案：CBDCD；DBACB；CB 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 是 180°归纳出所有三角形的内角和都是 180°；③由 f(x)＝sinx，满足 f(－x)＝－f(x)，x ∈R，推出 f(x)＝sinx 是奇函数；④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形 内角和是 540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ 解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎 推理． 答案：C 2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时，应假设( ) A．三角形的三个内角都不大于 60° B．三角形的三个内角都大于 60° C．三角形的三个内角至多有一个大于 60° D．三角形的三个内角至少有两个大于 60° 解析：其假设应是对“至少有一个角不大于 60°”的否定，即“都大于 60°”． 答案：B 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 - 6 - A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 解析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除 A，B，C. 答案：D 4．一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方 向作直线运动，则由 x＝1 运动到 x＝2 时 F(x)作的功为( ) A. J B. 3 3JC. 3 3 J D．2 J 解析：由于 F(x)与位移方向成 30°角．如图：F 在位移方向上的分力 F′＝F·cos 30°， W＝ʃ 2 1(5－x2)·cos 30°dx＝ 3 2ʃ 2 1(5－x2)dx ＝ 3 2 1 x3| 2 1＝ 3 2× 8 3＝ 3 3 (J)． 答案：C 5．设 a≠0，a∈R，则抛物线 y＝a x2 的焦点坐标为( ) A.（a2，0）B．(0, 12a) C.（a4，0） D．(0, 14a) 答案：D 6．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增 长到原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( ) 解析：设原有荒漠化土地面积为 1，由题意，得 y＝(1＋10.4%)x．故其图象应如 D 项中 图所示，选 D． 答案： D 7．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) - 7 - A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8 解析：去掉最高分 95 和最低分 89 后，剩余数据的平均数为＝ 90＋90＋93＋94＋93 5 ＝92， 方差为 s2＝ 1 5×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝ 1 5×(4＋4 ＋1＋4＋1)＝2.8. 答案：B 8．函数 f(x)＝sinxcosx＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2 解析：f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)，周期 T＝π，振幅为 1，故选 A. 答案：A 9．下面的程序运行后，输出的值是( ) PRINT i END A．8 B．9 C．10 D．11 解析：由题意知，此程序为循环语句，当 i＝10 时，210＝1 024；当 i＝11 时，211＝2 048 ＞2 000，输出结果为 i＝11－1＝10. 答案：C 10．设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋ b i为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当 a≠0，b＝0 时，ab＝0，则 a＋bi是实数，故不是充分条件；若复数 a＋bi为纯 虚数，且 a＋bi＝a－bi，则 a＝0 且 b≠0，所以 ab＝0，故是必要条件． 答案：B 11．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析： - 8 - 如图所示，要使过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该 直线的斜率小于等于渐近线的斜率 b a，∴ b a≥，离心率 e2＝ c2 a2＝ a2＋b2 a2 ≥4，∴e≥2. 答案：C 12．已知 a>0，x，y 满足约束条件x＋y≤3， x－3 若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( ) A.14 B.12 C．1 D．2 解析：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值进行解答． 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值， 由x＝1， ， 得 x＝1， y＝－2a， ∴zmin＝2－2a＝1， 解得 a＝12，故选 B. 答案：B 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．若复数2－bi1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则 b＝________. 解析：因为2－bi1＋2i＝1－2i5 ＝2－2b5 －4＋b5 i，又复数2－bi1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数， 所以2－2b5 ＝4＋b5 ，即 b＝－23. - 9 - 答案 －23 14．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭， 在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒． 解析 设每一秒钟通过的路程依次为 a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项 a1＝2，公差 d＝2 的等差数列，由求和公式得 na1＋n－1d2 ＝240，即 2n＋n(n－1)＝240，解得 n＝15. 答案 15 15．以原点 O 为圆心且截直线 3x＋4y＋15＝0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________． 解析：原点 O 到直线的距离 d＝ 15 32＋42＝3，设圆的半径为 r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的 方程是 x2＋y2＝25. 答案：x2＋y2＝25 16．有下列四个命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的 周长相等”的否命题；③若“b≤－1，则方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 有实根”的逆否命题；④若 p∨q 为假命题，则 p，q 均为假命题． 其中真命题的序号是__________．(把所有正确命题的序号都填上) 解析：对①，逆命题“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；对②，否命题“不相似 的三角形的周长不相等”是假命题；对③，Δ＝4b2－4(b2＋b)≥0，即 b≤0，∴b≤－1 时， 方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p∨q 假时，p，q 一定均假，∴ ④正确．故①③④正确． 答案：①③④ 三、解答题 17．(10 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，且 cos A＝45. (1)求 sin2B＋C2 ＋cos 2A 的值； (2)若 b＝2，△ABC 的面积 S＝3，求 a. 解 (1)sin2B＋C2 ＋cos 2A＝B＋C2 ＋cos 2A＝1＋cos A2 ＋2cos2A－1＝5950.（5 分） (2)∵cos A＝45，∴sin A＝35. 由 S△ABC＝12bcsinA，得 3＝12×2c×35，解得 c＝5. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，可得 a2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a＝.（10 分） - 10 - 18．(12 分)从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量(单位：克)的频数分布表如下： 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 [80,85)的有几个？ (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的 概率． 解：(1)苹果重量在[90,95)的频率为2050＝25＝0.4；(4 分) (2)重量在[80,85)的苹果有 55＋15×4＝1 个；(8 分) (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中，有 1 个重量在[80,85)中，3 个在[95,100)中．设“在[80,85) 和[95,100)中各有 1 个苹果”为事件 A，则 P(A)＝36＝12. 故重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个苹果的概率为12.(12 分) 19． (12 分)已知函数 f(x)＝13x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1)) 处的切线方程为 x＋y－3＝0. (1)求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间，并求出 f(x)在区间[－2,4]上的最大值． 解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1， ∵(1，f(1))在 x＋y－3＝0 上， ∴f(1)＝2， ∴(1,2)在 y＝f(x)上， ∴2＝13－a＋a2－1＋b. 又 f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0， 解得 a＝1，b＝83.6 分 (2)∵f(x)＝13x3－x2＋83， ∴f′(x)＝x2－2x， 由 f′(x)＝0 可知 x＝0 和 x＝2 是 f(x)的极值点，所以有 x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ - 11 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)． ∵f(0)＝83，f(2)＝43，f(－2)＝－4，f(4)＝8， ∴在区间[－2,4]上的最大值为 8.12 分 20．(12 分)如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝4，点 E 在 C1C 上，且 C1E＝3EC. (1)证明 A1C⊥平面 BED； (2)求二面角 A1－DE－B 的余弦值． 解 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz. 依题设 B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)． DE →＝(0,2,1)， DB →＝(2,2,0)， A1C → ＝(－2,2，－4)， DA1 → ＝(2,0,4)． (1)∵ A1C → · DB →＝0， A1C → · DE →＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥DE. - 12 - 又 DB∩DE＝D， ∴A1C⊥平面 DBE.（6 分） (2)设向量 n＝(x，y，z)是平面 DA1E 的法向量，则 n⊥ DE →、n⊥ DA1 → . ∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0. 令 y＝1，则 z＝－2，x＝4， ∴n＝(4,1，－2)． ∴cos〈n， A1C → 〉＝ A1C | ＝ 14 42. ∵〈n， A1C → 〉等于二面角 A1－DE－B 的平面角， ∴二面角 A1－DE－B 的余弦值为 14 42.（12 分） 21．(12 分)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A、B 两点． (1)写出 C 的方程； (2)若 OA →⊥ OB →，求 k 的值． 解 (1)设 P(x，y)，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴 为 2 的椭圆，它的短半轴 b＝＝1， 故曲线 C 的方程为 x2＋y24 ＝1.（4 分） (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 ＝1， y＝kx＋1. 消去 y 并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0. 其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0 恒成立． 故 x1＋x2＝－ 2kk2＋4，x1x2＝－ 3k2＋4. 若OA→⊥OB→，即 x1x2＋y1y2＝0. 而 y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1， 于是 x1x2＋y1y2＝－ 3k2＋4－ 3k2k2＋4－ 2k2k2＋4＋1＝0， 化简得－4k2＋1＝0，所以 k＝±12.（12 分） 22．(12 分)在各项为正的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝12 1an. (1)求 a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． - 13 - 解：(1)S1＝a1＝12 1a1，得 a21＝1， ∵an>0，∴a1＝1. S2＝a1＋a2＝12 1a2，得 a22＋2a2－1＝0， ∴a2＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝12 1a3. 得 a23＋2a3－1＝0，∴a3＝－.4 分 (2)猜想 an＝－(n∈N*)． 证明如下： ①n＝1 时，a1＝－命题成立； ②假设 n＝k 时，ak＝－成立， 则 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12 1ak＋1－12 1ak，即 ak＋1＝12 1ak＋1－12 1k－1 ＝12 1ak＋1－. ∴a 2k＋1＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－. 即 n＝k＋1 时，命题成立.12 分 由①②知，an＝－对任意 n∈N*都成立.（12 分）