江西省宜春市高安市高安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

江西省宜春市高安市高安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

江西省高安中学2019—2020学年度上学期期中考试高二年级理科数学试题 一、选择题 ‎1.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法，求出复数z即可.‎ ‎【详解】复数z满足， ，‎ 故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.‎ ‎2.用反证法证明命题“已知，如果可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）‎ A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“中至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”．故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3.若函数，则函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. (0，3) D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果.‎ ‎【详解】函数的定义域为：，‎ 因为，‎ 令并且，得：，‎ 所以函数的单调递减区间为(0，3).‎ 故本题正确答案为C.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.‎ ‎4.函数 图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域，极限，单调性判断．‎ ‎【详解】f（x）的定义域为{x|x＞0}，排除A．‎ 当x→0+时，f（x）→+∞，排除D．‎ 当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x），‎ 令f′（x）＝0解得x＝2，‎ 当x＞2时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（2，+∞）上是减函数，排除B．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断．‎ ‎5.下列命题中，真命题是（　　）‎ A. 使得 B. ‎ C. D. 是的充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的值域为（0，+∞），可判断A；举出反例，sinx＝﹣1可判断B；举出反例x＝3，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．‎ ‎【详解】∵2x＞0恒成立，故A∃x0∈R，使得2x0≤0错误；‎ 当sinx＝﹣1时，sin2x1，故B错误；‎ 当x＝3时，23＜33，故C错误；‎ 当a＞2，b＞2时，ab＞4成立，‎ 反之，当ab＞4时，a＞2，b＞2不一定成立，如a=1，b=100，此时ab=100>4，但不满足a＞2，b＞2；‎ 故a＞2，b＞2是ab＞4的充分不必要条件，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件等知识点，难度不大，属于基础题．‎ ‎6.用S表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S的表示，如图所示，；‎ ‎；；；；.则其中对面积S的表示正确序号的个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将阴影部分的面积用定积分表示，然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.‎ ‎【详解】由定积分的几何意义知，区域内的面积为：， 又当时，，当时，，‎ 所以，‎ 或者 ‎，‎ 所以③，⑤，⑥是正确的.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，解题时要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题.‎ ‎7.设三边长分别为的面积为S，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球半径为，四面体的体积为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【详解】设四面体的内切球的球心为O，‎ 则球心O到四个面的距离都是R，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，‎ 则四面体的体积为 ，‎ ‎∴‎ 故本题正确答案为C．‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理，将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键，属基础题.‎ ‎8.在三棱锥中，点分别是中点，底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用三垂线定理作出直线OD与平面PBC所成角，就是取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，得到OF⊥平面PBC，然后解三角形求出角即可．‎ ‎【详解】∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，‎ 又∵OP⊥平面ABC ‎∴PA＝PB＝PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，BC面PBC，∴面PBC⊥平面POE，又面PBC平面POE=PE，‎ ‎∴在面POE中作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC ‎∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．‎ 设AB＝BC＝1，PA＝2，‎ 在Rt△POC中，PO，在Rt△POC中，D是PC的中点，PC＝2，‎ ‎∴OD＝1，在Rt△POE中，OE，PE，OF，‎ 在Rt△ODF中，sin∠ODF 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．‎ ‎9.己知函数，在处取得极大值，则实数的值是（ ）‎ A. B. 2 C. 2或6 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.‎ ‎【详解】函数的导数为，  由在处有极大值，即有，即 ‎， 解得或6，  若时，，可得或，  由在处导数左负右正，取得极小值，  若，，可得或2 ， 由在处导数左正右负，取得极大值.  综上可得. 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.‎ ‎10.圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面的中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）若则点形成的轨迹的长度为( 　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．‎ ‎【详解】建立空间直角坐标系．设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0）．‎ 于是有（0，1，），（x，y，）．‎ 由于AM⊥MP，所以（0，1，）•（x，y，）＝0，‎ 即y，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2． ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题 ‎11.函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.‎ ‎【详解】， . . 将代入， 得， ，， ‎ 在处的切线斜率为， 函数在处的切线方程为， 即. 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法，函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.‎ ‎12.（10）设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为 A. x±y="0" B. x±y=0‎ C. x±="0" D. ±y=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 不妨设，则 因为，所以，‎ 所以 因为在双曲线上，所以 则 所以，故 因为，所以 故，即 故，解得 所以双曲线的渐近线方程为，即，故选D 二、填空题 ‎13.设，则________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，，根据定积分的几何意义可知，可得表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求，最后相加即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得，，‎ 根据定积分的几何意义可知，表示的是在x轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：‎ 故，又，‎ 所以.‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.‎ ‎14.从2位医生，4位护士中选3人为参加救护工作，且至少有1位医生入选，则不同的选法共有________种.（用数字填写答案）‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析题意可知，需要分两种情况讨论求解：①当有一位医生时，有种；②当有两位医生时，有种，最后相加即可得到答案.‎ ‎【详解】因为选择3人，且至少有1位医生，‎ 所以当有一位医生时，有种，‎ 当有两位医生时，有种，‎ 故共有种.‎ 故本题正确答案为16.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.‎ ‎15.已知椭圆 的离心率 ，则 的值等于__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 当焦点在轴上时，，，，当焦点在轴上，解得或,故答案为或.‎ ‎16.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．‎ ‎【详解】，设切点分别是，‎ 所以切线方程分别为：，‎ 化简为，‎ 所以消，得，‎ 令，，‎ 所以f(x)在单调递减，，，‎ 故，解得.‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】可导函数y=f(x)在处导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y=f(x)在处的切线是，若求曲线y=f(x)过点(m，n)的切线，应先设出切点，把(m，n)代入，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.‎ 三、解答题 ‎17.如图，一个正方形花圃被分成5份.‎ ‎（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?‎ ‎（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?‎ ‎【答案】（1）96；（2） 16800‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，依次分析5个部分的种植方法数目， 对C部分种植进行分类，再由分步计数原理计算可得答案； （2）根据题意，分2步进行分析：①将7个盆栽分成5组，有2种分法：即分成的5组或分成的5组；②将分好的5组全排列，对应5个部分，由分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【详解】（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：‎ ‎①C若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种；‎ ‎②C若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种.‎ 综上，共有96种种植方法.‎ ‎（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：‎ ‎①若分成2-2-1-1-1的5组，有种分法；‎ ‎②若分成3-1-1-1-1的5组，有种分法；‎ 将分好的5组全排列，对应5个部分，‎ 则一共有种放法.‎ ‎【点睛】该题考查是有关排列与组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题.‎ ‎18.命题p: 函数y=在(-1, +)上单调递增, 命题函数y=lg[]的定义域为R.‎ ‎(1)若“或”为真命题，求的取值范围;‎ ‎(2)若“或”为真命题，“且”为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) m>1; (2) 11; (2) p, q一真一假. 因此,或, 解得: 1

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