2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）‎ 文科数学试题 ‎ 2018.3‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。）‎ ‎1．已知集合，那么（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2．已知是虚数单位，则复数（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图。已知该市的各月 最低气温与最高气温具有较好的线性关系，‎ 则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ ‎ A. 最低气温与最高气温为正相关 ‎ B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温 ‎ C. 月温差（最高气温减最低气温）的 最大值出现在1月 ‎ D. 最低气温低于的月份有4个 ‎4．已知曲线在点处切线的倾斜角为，则等于（ ）‎ ‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎5．在中，分别为角的对边长，，则三角形的形状为（ ）‎ ‎ A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 ‎ C. 正三角形 D. 直角三角形 ‎6．设实数满足不等式组，则的取值范围是（ ）[]‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．设，则“”是“”的 （ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．如图所示，程序框图的输出值（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第8题图 第9题图 ‎9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3‎ ‎ A. 6+ B. 6 C. 4+ D. 4+‎ ‎10．已知函数对一切实数满足,且,若,则数列的前项和为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知双曲线（，），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、 两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知等差数列的9，则前13项的和为_____________.‎ ‎14．若为锐角，，则__________．‎ ‎15．设数列的前n项和为Sn，已知Sn=2n－an（n∈N+），通过计算数列的前四项，猜想___.‎ ‎16．已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）‎ ‎17．（本题10分）在中，角所对边分别是，满足 ‎ （1）求角；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎[来源:]‎ ‎18．（本题12分）已知等差数列中,是数列的前项和,且 ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设数列的前项和为,求.‎ ‎19．（本题12分）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其余人员不喜欢运动．‎ ‎（1）根据以上数据完成2×2列联表，并说明是否有95%的把握认为性别与喜欢运动有关；‎ 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 女 总计 ‎（2）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责处理应急事件，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率. ‎ 附：K2＝，‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20．（本题12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎21．（本题12分）在平面直角坐标系中,动点P到两点的距离之和等于4,设动点P的轨迹为曲线C,直线过点且与曲线C交于A,B两点.‎ ‎（1）求曲线C的方程;‎ ‎（2）的面积是否存在最大值?若存在,求此时的面积,若不存在说明理由.‎ ‎22．（本题12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：.‎ 南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）文科数学试题答案 ‎1．A【解析】∵，故选：A。‎ ‎2．C【解析】，选C.‎ ‎3．D【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20，而5月份的最高气温为不超过20，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于的月份是1，2，4三月份，故D错，选D.‎ ‎4．A【解析】因为，所以，由已知得，解得，故选A.‎ ‎5．D【解析】∵，∴，即，去分母得：‎ ‎，即，则为直角三角形，故选D.‎ ‎6．B【解析】作出不等式的可行域，如图所示：‎ 可以看作阴影部分内的点(x,y)与定点P(-4,0)连线的斜率，‎ 由图可知，AP的斜率最大，，‎ x轴上的点与P连线斜率最小为0，所以. 故选B.‎ ‎7．B【解析】若，则，有；若，当时，‎ ‎，所以“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎8．C【解析】由程序框图，得：；；；‎ ‎；；结束循环，输出S值；故选C．‎ ‎9．A【解析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，且三棱柱的底面是等腰直角三角形：直角边是2，高是3，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的体积，本题选择A选项.‎ ‎10．C【解析】由，得 ‎，…，，所以 ‎，所以数列的前项和为．选C．‎ ‎11．D【解析】是双曲线通径， ，由题意，即，，即，解得（舍去），故选D．‎ ‎12．B【解析】由题意得当时，，所以当时，；当 时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，又，当时，‎ ‎，当时，函数为 减函数，作出的图象如图所示，所以当时，‎ 有3个不同的实数根，故选B.‎ ‎13．39【解析】由等差数列的性质知，，所以．‎ ‎14．【解析】因为为锐角，，所以，‎ ‎，故填.‎ ‎15．【解析】当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得.故可猜想.‎ ‎16．【解析】，设函数 的单调递增区间为 ‎，单调递减区间为，所以当时，，当时，；当时，；当时，，因为不等式的解集等价于，所以当或时，，不等式的解集或，故答案为或.‎ ‎17．【解析】（1）由已知得:，‎ 则 ‎∴，则 ‎∵，∴，∵，∴‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎∴，当时取等号，∴‎ ‎∴面积的最大值为 ‎18．【解析】(1)设等差数列的首项为,公差为,因为 所以,得,‎ 数列的通项公式是.‎ ‎(2),=,‎ ‎=,‎ ‎==.‎ ‎19．【解析】(1)‎ 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 女 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 总计 ‎16‎ ‎14‎ ‎30‎ 由已知数据可得，‎ k＝≈1.1575<3.841，因此，没有95%的把握认为性别与喜欢运动有关．‎ ‎(2)喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，‎ 其中两人都懂得医疗救护的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．‎ 设“抽出的2名志愿者都懂得医疗救护”为事件A，则P(A)＝＝．‎ ‎20．【解析】（1）证明：连接，据题知 ‎,则.‎ 又因为，所以 因为，都在平面内，所以平面；‎ ‎（2）‎ ‎21．【解析】 (1)由椭圆的定义可知，点P的轨迹是椭圆 设椭圆方程为,由题意可得，，则 所以椭圆的方程为 ‎(2)设直线，则，，‎ ‎，，‎ ‎∴,‎ 令 ‎∵‎ ‎∴∴，则 ‎22．【解析】（1）由题意可得，令，得.‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减.‎ 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.‎ ‎（2）要证成立，只需证成立.‎ 令，则，令，则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，‎ 又由（1）可得在上，‎ 所以，所以不等式得证.‎