【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词（文）学案
1.理解全称量词与存在量词的意义；
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定；
3.了解命题的概念，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．学 ]
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示
形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．
3．存在量词与存在性命题
(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。学+
(2)存在性命题：含有全称量词的命题．
(3)存在性命题的符号表示
形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为 ∃x∈M，q(x)。
4．基本逻辑联结词
常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．
5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
6．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
高频考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1、[2017·山东高考]已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
0，得3x＋1>1，所以0<<1，
所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．
答案 B
高频考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定
例2、(1)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p是( )
A．∀x∈R，ex－x－1<0 B．∃x∈R，ex－x－1≤0
C．∃x∈R，ex－x－1<0 D．∀x∈R，ex－x－1≤0
(2)不等式组的解集为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A.p2，p3 B．p1，p2 C．p1，p4 D．p1，p3
解析 (1)因为全称命题的否定是存在性命题，命题p：∀x∈R，ex－x－1>0的否定为綈p：∃x∈R，ex－x－1≤0.
(2)画出可行域如图中阴影部分所示，
由图可知，当目标函数 ＝x＋2y，经过可行域的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0.
因此p1，p2是真命题．
答案 (1)B (2)B
【感悟提升】(1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．
(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p(x)成立．
【变式探究】命题p：存在x∈，使sin x＋cos x>；命题q：“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p∧q，(綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
高频考点三 由命题的真假求参数的取值范围
例3、已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解 由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知00的解集为R，
则解得a>.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故或
解得a≥1或00，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0， | |X|X| ]
则－20)，q：实数x满足20，∴A＝{x|a5，解得0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.
1.【2016高考四川文 】设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，可得，而当时，不能得出且.故是的充分不必要条件，选A.
2.【2016高考天津文数】设，，则“”是“”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 | |X|X| ]
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C
3.【2016高考上海文 】设，则“”是“”的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】，所以“”是“”的充分非必要条件，选A. 学 ]
1.【2015高考浙江，文3】设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
2.【2015高考重庆，文2】“”是“”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“ ”显然能推出“”，故条件是充分的，又由“”可得，所以条件也是必要的，故选A.
3.【2015高考天津，文4】设,则“”是“”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.
4.【2015高考四川，文4】设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞0成立，反之当log2a＞log2b＞0成立时，a＞b＞1也正确.选A
5.【2015高考湖南，文3】设R，则“>1”是“>1”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题易知“>1”可以推得“>1”， “>1”不一定得到“>1”，所以“>1”是“>1”的充分不必要条件，故选A.
6.【2015高考安徽，文3】设p：x<3，q：-1x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确．
因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确．
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确．
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
答案 D
6．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4]
B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0， ]
所以命题綈p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0，
则a<0或解得a<0或a>4.
答案 D
7．已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是( )
A．p∧q是真命题 B．p∧q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
解析 对于p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，
所以命题p为真命题；
对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题．由此可得p∧q是真命题．
答案 A
8．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－1，2]
解析 由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.
答案 B
9．已知命题p：∀x∈R，x＋≥2；命题q：∃x∈(0，＋∞)，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q
解析 对于p：当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题．取x0∈(0，1)，此时x＞x，∴q为真命题．
从而綈p为真命题，(綈p)∧q为真命题．
答案 A
10．命题“∃x∈，tan x>sin x”的否定是________．
答案 ∀x∈，tan x≤sin x
11．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
12．已知下列四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”
②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
③命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0
④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
其中真命题的是________(填序号)．解析 显然①③正确．
②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.
∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确．
④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误．
答案 ①②③
