2019-2020学年江西省南昌市第十中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省南昌市第十中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省南昌市第十中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．R ‎【答案】A ‎【解析】由题意可求出集合B，然后根据交集的定义求出即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2．已知函数则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求f(10),再求的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以=f(1)=.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3．已知幂函数的图象通过点，则该函数的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出函数的解析式为，根据幂函数的图象过点，构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．‎ ‎【详解】‎ 设幂函数的解析式为.‎ ‎∵幂函数的图象过点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴该函数的解析式为 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，解答本题的关键是对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．‎ ‎4．下列函数既是奇函数，在定义域内又是增函数的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】容易判断为非奇非偶函数，为偶函数，在定义域内没有单调性，从而判断A，C，D都错误，从而选．‎ ‎【详解】‎ 对于是非奇非偶函数，该选项错误；‎ 对于.；‎ 该函数是奇函数；‎ 和在R上都是增函数；‎ 在R上是增函数；‎ 该选项正确；‎ 对于.是偶函数，该选项错误；‎ 对于.在定义域内没有单调性，该选项错误．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，运用函数性质即可判断出结果，较为基础 ‎5．已知，，则的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知，，，根据的范围即可比较出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：易知，，，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数、对数大小的比较，找中间值是比较大小常用的一种方法，属于基础题.‎ ‎6．函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．‎ ‎【详解】‎ 解：∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数 f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0 ∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3） 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．‎ ‎7．定义在上的偶函数在上是减函数,则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】偶函数在上是减函数,所以，即.‎ 可得：.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等函数的形式是解题的关键；根据性质得到为定义域内的偶函数且在内单调递增，在内单调递减，故而可将不等式等价转化为即可.‎ ‎8．若函数的定义域是，则函数的定义域为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数有意义，可得0≤x+1≤3且x≠1.‎ ‎【详解】‎ 解：函数的定义域是，‎ 函数有意义，可得 ‎0≤x+1≤3且x≠1，‎ 即有≤x≤2且x≠1，‎ 即有定义域为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域的求法，注意运用定义域的定义和分式分母不为0，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎9．已知，，函数，的图象大致是下面的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵的定义域为{x|x＜0}故排除选项A，D；C中y=ax单调递增，‎ ‎，此时应该单调递增和图中图象矛盾排除，故选B．‎ 点睛：本题要理解并记忆指数函数和对数函数的图象．指数函数和对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减，这是指数、对数函数最重要的性质之一．‎ ‎10．已知函数（，），若则此函数的单调递增区间是( )‎ A．(－∞，－1) B． C． D．(－3，－1]‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据解出，所以单调递减. 再求出 解和单调区间，根据复合函数单调性的求法即可求出函数的单调区间.‎ ‎【详解】‎ 解：，所以单调递减.‎ 令解得：，又在上递增，在上递减，所以的单调递增区间为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的单调性，考查对数函数求定义域以及根据函数值求底数的范围，属于中档题.‎ ‎11．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由得，即恒成立，由于时，在上不恒成立，故，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.‎ ‎12．若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可作出函数图象，结合图象分析；‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，作 的图象(图1)，再作轴右边的图象的中心对称图形，‎ 与轴左边的图象只有一个交点，符合题意.‎ ‎ ‎ 时，作 的图象(图2)，再作轴右边的图象的中心对称图形，‎ 若对称的图象过点,则，所以要满足与轴左边的图象只有一个交点，则有.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解。‎ 二、填空题 ‎13．函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为当时，，所以函数图象恒过点，故填.‎ ‎14．已知, 则的解析式为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，将t代入原函数替换x则可求得解析式.‎ ‎【详解】‎ 解：令，则，代入原函数得：=，所以的解析式为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查换元法求函数的解析式，有些题目要注意换元前后范围的变化，属于基础题.‎ ‎15．用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，那么下一次应计算x＝_________时的函数值．‎ ‎【答案】0.75‎ ‎【解析】‎ 根据零点存在定理，结合已知可以确定函数零点落在的区间，结合二分法的原理，可以求出下次应计算的函数值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间（0.5，1）内，取x＝0.75．故答案为：0.75．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点存在定理以及二分法的步骤，属于基础题.‎ ‎16．为了确保神舟飞船发射时的信息安全，信息须加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见下表）：‎ a b c d e f g h i j k l m ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ n o p q r s t u v w x y z ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ 通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即h变换成q；，即e变换成c．若按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是__________．‎ ‎【答案】love ‎【解析】因为英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，所以通过变换公式：可以构造方程求解，再用数字寻找对应的字母即可找到原文.‎ ‎【详解】‎ 解：由已知变换公式为：，所以s对应的19为或解得：（舍）或，所以s对应的字母为l;‎ 同理可以求出h对应的字母为o；x对应的字母为v；c对应的字母为e.‎ 故答案为：love.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查映射的应用以及分段函数已知值求自变量，考查学生分析问题转化问题的能力，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）109 （2）1‎ ‎【解析】（1）利用指数的公式化简求值即可. （2）利用指数和对数的运算性质化简计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数、对数的化简求值，考查指数、对数的运算公式，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎18．设集合，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据指数函数的运算性质和对数函数的运算性质，分别求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.‎ ‎（2）由集合，得到，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得，‎ 由对数函数的运算性质，可得，‎ 所以.‎ ‎（2）由题意，可得集合，因为，‎ 所以，解得，即实数实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的额运算性质，正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）证明函数在R上单调递增；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数是奇函数. （2）证明见解析 （3）‎ ‎【解析】（1）利用奇函数的定义，用代替化简后判断与的关系. （2）任取，且，做差计算，即判断出的单调性. （3）利用是奇函数又是增函数的特性，构造关于的不等式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域是，因为，‎ 即，所以函数是奇函数.‎ ‎（2）证明：任取，且，则 ‎, 在R上单调递增.‎ ‎（3）由（1）(2)知函数是奇函数，所以.‎ 又函数是上的增函数，‎ 所以，解得.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性、单调性的证明，考查根据奇偶性、单调性求解，考查了学生对概念的理解和运用能力，属于中档题.‎ ‎20．已知函数（，且）在上的最大值为2.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求使得成立的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，结合对数的运算性质，即可求解；‎ ‎（2）由不等式，根据对数函数的性质，得到，根据对数的运算性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，函数在上单调递增，‎ 因此，解得；‎ 当时，函数在上单调递减，‎ 因此，解得.‎ 综上可知：或.‎ ‎（2）由不等式，即，‎ 又，根据对数函数的性质，可得，‎ 即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．设二次函数，不等式的解集是．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）当函数的定义域是时，求函数的最大值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）因为不等式的解集为，所以，且-4,2为的两根，根据根与系数的关系列方程组求解即可. （2）分析的图象，是开口朝下，且以为对称轴的抛物线.所以讨论与-1的关系，则可求出的最大值，然后写出最大值的关系式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三个二次关系可知的根为 ‎，由根与系数的关系得 ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）的图象是开口朝下，且以为对称轴的抛物线.‎ 当，‎ 的最大值为 当即时 的最大值为，‎ 当，‎ 的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求二次函数解析式，考查分类讨论求二次函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎22．函数是奇函数．‎ 求的解析式；‎ 当时，恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】根据函数的奇偶性的定义求出a的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 函数是奇函数，‎ ‎，‎ 故，‎ 故；‎ 当时，恒成立，‎ 即在恒成立，‎ 令，，‎ 显然在的最小值是，‎ 故，解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎