人教A版数学必修一课时提升作业(二十四)
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课时提升作业(二十四)
用二分法求方程的近似解
(15 分钟 30 分)
一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)
1.用二分法求如图所示函数 f(x)的零点时,不可能求出的零点是 ( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
【解题指南】观察图象,与 x 轴交点的两侧符号相同时不能用二分法求零点.
【解析】选 C.观察图象可知:点 x3 的附近两旁的函数值都为负值,所以点 x3 不能
用二分法求,故选 C.
2.下列函数不能用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=log2x+2x-9
C.f(x)=(2x-3)2 D.f(x)=3x-3
【解析】选 C.因为 f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.
【补偿训练】下列函数零点不能用二分法求解的是 ( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=-x2+2x+2
【解析】选 C.对于 C,f(x)=(x+1)2≥0,不能用二分法.
3.(2015·本溪高一检测)用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时,经计算
f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为 0.1 的正实数零点的
近似值为 ( )
A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4
【解析】选 B.因为 f(0.72)>0,f(0.68)<0,
所以零点在区间(0.68,0.72),|0.72-0.68|=0.04<0.1,零点在区间[0.68,0.72]
内,故只有 B 选项符合要求.
二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
4.(2015·四平高一检测)用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数据
如下:
f(1.600)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.57 50)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060
据此数据,可得方程 3x-x-4=0 的一个近似解(精确度 0.01)为 .
【解析】注意到 f(1.5562)=-0.029 和 f(1.5625)=0.003,显然
f(1.5562)·f(1.5625)<0,且 =0.0063<0.01,
故方程 3x-x-4=0 的一个近似解为 1.5625 或 1.5562.
答案:1.5625(或 1.5562)
【补偿训练】在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时,经计算,
f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为
(精确度 0.1).
【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,
所以 0.75 或 0.6875 都可作为方程的近似解.
答案:0.75(或 0.6875)
5.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0 且 a≠1).当 2
logaa+3-b=4-b>0,
所以 x0∈(2,3)即 n=2.
答案:2
三、解答题
6.(10 分)(2015·南京高一检测)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指
挥部的电话线路发生了故障.这是一条长 10km 的线路,电线杆的间距为 100m.如
何迅速查出故障所在呢?
【解题指南】利用二分法,将线路不断一分为二,最终缩小到 100m 之内,即可查
出故障所在.
【解析】如图所示,首先从 AB 线路的中点 C 开始检查,当用随身带的话机向两端
测试时,发现 AC 段正常,判定故障在 BC;再到 BC 段中点 D 检查,这次发现 BD 段正
常,可见故障出在 CD 段;再到 CD 段中点 E 来检查……每查一次,可以把待查的线
路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到 100m 之内,查 7 次就可以了.
(15 分钟 30 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2015·银川高一检测)在用二分法求函数 f(x)零点近似值时,第一次取的区间
是[-2,4],则第三次所取的区间可能是 ( )
A.[1,4] B.[-2,1]
C.[-2,2.5] D.[-0.5,1]
【解析】选 D.因为第一次所取的区间是[-2,4],
所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4],
第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项 D 在
其中.
2.(2015·东营高一检测)已知函数 f(x)的一个零点 x0∈(2,3),在用二分法求精
确度为 0.01 的 x0 的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要 ( )
A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次
【解析】选 C.区间长度为 1,每次长度缩小一半,注意到 >0.01, >0.01, <0.01,
因此判断各区间中点的函数值符号最少 7 次.
【延伸探究】若将函数 y=f(x)的零点所在的区间改为在[0,1]内,欲使零点的近
似值的精确度达到 0.01,则用二分法取中点的次数的最小值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选 B.因为 =0.015625, =0.0078125,所以至少要取 7 次中点,区
间的长度才能达到精确度要求.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.已知 f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点 x0,用“二分
法”求得一系列含零点 x0 的区间,这些区间满足(a,b)⊇(a1,b1)⊇(a2,b2)⊇…⊇
(ak,bk),若 f(a)<0,f(b)>0,则 f(ak)的符号为 .(填“正”,“负”,“正、
负、零均可能”)
【解题指南】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题,直接根据二分法的
定义即可得到结论.
【解析】因为 f(a)<0,f(b)>0,
要想一步步进行下去,直到求出零点,
按二分法的的定义可知,f(ak)<0.
如果 f(ak)为 0 的话,零点就是 ak,应该是左闭区间;
如果 f(ak)为正的话,零点应该在(ak,bk)的前面那个区间内.
答案:负
4.(2015·滁州高一检测)若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正零点附近的函数值用
二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似解(精确度为 0.1)为 .
【解析】因为 =0.0625<0.1,所以在区间 内的
任何一个值都可以作为 x3+x2-2x-2=0 的一个近似解,故方程 x3+x2-2x-2=0 的一个
近似解可取为 1.4375 或 1.375.
答案:1.4375(或 1.375)
【补偿训练】下面是连续函数 f(x)在 上一些点的函数值:
x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f(x) -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165 0.625 1.982 2.645 4.356
由此可判断:方程 f(x)=0 的一个近似解为 .(精确度 0.1)
【解析】由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065,1.438)上,由精
确度可知近似解可取为 1.438 或 1.4065.
答案:1.438(或 1.4065)
三、解答题
5.(10 分)(2015·株洲高一检测)已知函数 f(x)=3x+ 在(-1,+∞)上为增函数,
求方程 f(x)=0 的正根(精确度 0.01).
【解题指南】由函数在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,可先判
断出 f(x)=0 的正根最多有一个,然后选用二分法逐次计算求解.
【解析】由于函数 f(x)=3x+ 在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递
增,
因此 f(x)=0 的正根最多有一个.
因为 f(0)=-1<0,f(1)= >0,
所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区间 中点值 中点函数近似值
(0,1) 0.5 0.732
(0,0.5) 0.25 -0.084
(0.25,0.5) 0.375 0.328
(0.25,0.375) 0.312 5 0.124
(0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021
(0.25,0.281 25) 0.265 625 -0.032
(0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 -0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
因为 =0.0078125<0.01,所以方程的根的近似值为
0.2734375,即 f(x)=0 的正根约为 0.2734375.
【补偿训练】利用计算器,求方程 lgx=3-x 的近似解.(精确度 0.1)
【解析】设 f =lgx+x-3,在同一坐标系中,作出 y=lgx
和 y=3-x 的图象,如图所示,观察图象可以发现 lgx=3-x 有
唯一解 x1,且 x1∈ ,f <0,利用二分法,可列下表:
区间 中点值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 -0.102 059 991
(2.5,3) 2.75 0.189 332 694
(2.5,2.75) 2.625 0.044 129 308
(2.5,2.625) 2.562 5 -0.028 836 126
(2.562 5,2.625)
由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1,
所以原方程的近似解可取 2.5625.
【拓展延伸】数形结合思想在求方程近似解中的妙用
(1)求解形如 f(x)=g(x)的根时,通过在同一直角坐标系中作出函数 y=f(x)和
y=g(x)的图象,观察交点位置,可以得到方程的近似解所在的区间.
(2)可以利用函数的单调性等,分析函数图象交点的个数,从而指导我们利用计
算器列函数对应值表时,有针对性地对变量取值.
(3)借助方程求交点,利用图象求近似解是数形结合思想的重要体现.
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