江苏省南京市2021届高三数学上学期期初调研试题（Word版附解析）

江苏省南京市2021届高三数学上学期期初调研试题（Word版附解析）

江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研 数学试题 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，则AB＝‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知(3﹣4i)z＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知向量，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为 ‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bcosC≤2a﹣c，则角B的取值范围是 ‎ A．(0，] B．(0，] C．[，) D．[，)‎ ‎6．设，，，则 ‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b ‎7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎8．已知奇函数的定义域为R，且．若当x(0，1]时，＝‎ 18‎ ‎，则的值是 A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测 ‎ 由上图提供的信息可知 A．运营商的经济产出逐年增加 B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 ‎10．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则 A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点(，0)对称 C．函数在区间(，)上单调递增 D．函数在区间(0，)上有两个零点 18‎ ‎11．已知，则 A．的值为2 B．的值为16‎ C．的值为﹣5 D．的值为120‎ ‎12．记函数与的定义域的交集为I．若存在I，使得对任意I，不等式 恒成立，则称(，)构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有 ‎ A．， B．，‎ ‎ C．， D．，‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适 量的水．若放入一个半径为r的实心铁球（小球 完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝‎ ‎ ．‎ ‎14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前 ‎212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 第13题 家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．‎ ‎15．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则＝‎ ‎ ；若＝2，则＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎16．若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 18‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知向量＝(2cosx，﹣1)，＝(sinx，2cos2x)，xR，设函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若a[，]，且，求cos2a的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，‎ ‎（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；‎ ‎（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．‎ 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：‎ ‎ 是否达标 性别 不达标 达标 男生 ‎36‎ ‎24‎ 女生 ‎10‎ ‎30‎ ‎（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?‎ 附：．‎ 18‎ P(≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．‎ ‎（1）求证：CD⊥AE；‎ ‎（2）记二面角C—AE—D的平面角为，且，求实数的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：．‎ ‎（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；‎ ‎（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．‎ 18‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，kR．‎ ‎（1）当k＝2时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当0＜x≤1时，恒成立，求k的取值范围；‎ ‎（3）设n，求证：．‎ 江苏省南京市2021届高三上学期期初考试 数学试题 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，则AB＝‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：∵集合A＝，∴集合A＝，‎ ‎ 又∵B＝，∴AB＝，故选C．‎ ‎2．已知(3﹣4i)z＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：，故在复平面内z对应的点为(，)，在第二象限，故选B．‎ ‎3．已知向量，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 18‎ 解析：，‎ ‎ ，故与的夹角为，故选D．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为 ‎ A．2 B．4 C． D．‎ 答案：A 解析：双曲线C：的一条渐近线为，‎ ‎ 则，解得，，故选A．‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bcosC≤2a﹣c，则角B的取值范围是 ‎ A．(0，] B．(0，] C．[，) D．[，)‎ 答案：A 解析：∵2bcosC≤2a﹣c，∴2sinBcosC≤2sinA﹣sinC，故cosB≥，‎ ‎∴0＜B≤，故选A．‎ ‎6．设，，，则 ‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 答案：C 解析：∵9＞8，∴3＞，故，‎ 从而有，故选C．‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为 ‎ A． B．‎ 18‎ ‎ C． D．‎ 答案：C 解析：设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2，‎ ‎ ∴，整理得：，故选C．‎ ‎8．已知奇函数的定义域为R，且．若当x(0，1]时，＝，则的值是 A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3‎ 答案：B 解析：根据奇函数，满足，可知函数的周期为4，‎ ‎ ∴，故选B．‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测 ‎ 由上图提供的信息可知 A．运营商的经济产出逐年增加 B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 18‎ 答案：ABD 解析：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C错误，故选ABD．‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则 A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点(，0)对称 C．函数在区间(，)上单调递增 D．函数在区间(0，)上有两个零点 答案：ACD 解析：可得，当，，故A正确；‎ 当，，故B错误；‎ 当(，)，(，0)，故C正确；‎ 当(0，)，(，)，故D正确．‎ 故选ACD．‎ ‎11．已知，则 A．的值为2 B．的值为16‎ C．的值为﹣5 D．的值为120‎ 答案：ABC 解析：令x＝0，得，故A正确；‎ ‎，故，B正确；‎ 18‎ 令x＝1，得①，又，‎ ‎∴，故C正确；‎ 令x＝﹣1，得②，由①②得：‎ ‎，D错误．‎ 故选ABC．‎ ‎12．记函数与的定义域的交集为I．若存在I，使得对任意I，不等式 恒成立，则称(，)构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有 ‎ A．， B．，‎ ‎ C．， D．，‎ 答案：AC 解析：选项B满足，故不成立；选项D，存在两个非零的零点，故不成立．‎ 故选AC．‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适 量的水．若放入一个半径为r的实心铁球（小球 完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝‎ ‎ ．‎ 答案：2‎ 解析：．‎ ‎14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B 18‎ 两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．‎ 答案：‎ 解析：首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(﹣4，4)，其次得在该两点处的抛物线的切线方程分别为y＝2x﹣4，y＝﹣2x﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，故弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．‎ ‎15．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则＝‎ ‎ ；若＝2，则＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）‎ 答案：4；220‎ 解析：根据①，得②，①﹣②得，‎ 故；当＝2，可得该数列满足，且与均为公差为2的等差数列，即可求得＝220．‎ ‎16．若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ．‎ 答案：(，﹣1]‎ 解析：令，恒成立，显然a≤0，‎ ‎ ，则，‎ ‎，‎ 当a＝0时，在(，0)递增，(0，)递减，符合题意，‎ a＜0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减 x＜，，故符合题意，‎ 综上，a≤0，b＝﹣1，因此a＋b(，﹣1]．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知向量＝(2cosx，﹣1)，＝(sinx，2cos2x)，xR，设函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若a[，]，且，求cos2a的值．‎ 18‎ 解：因为 m＝(2cosx，－1)，n＝(sinx，2cos2x)，‎ 所以f(x)＝m·n＋1＝2sinxcosx－2cos2x＋1 ‎ ‎＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)． ‎ ‎（1）T＝＝π． ‎ ‎（2）由f(α)＝，得sin(2α－)＝．‎ 由α∈[，]，得≤2α－≤π，‎ 所以cos(2α－)＝－＝－＝－， ‎ 从而 cos2α＝cos[(2α－)＋]＝cos(2α－)cos－sin(2α－)sin ‎＝－×－×＝．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，‎ ‎（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；‎ ‎（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．‎ 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ 解：（1）选①，‎ ‎ 因为S1＋S3＝2S2＋2，‎ ‎ 所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，‎ ‎ 又数列{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎ 所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1， ‎ 18‎ 因此an＝1×2n－1＝2n－1． ‎ ‎ 此时任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，‎ 由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n－1项，‎ ‎ 因此数列{an}满足条件P． ‎ ‎ 选②，‎ ‎ 因为S3＝，即a1＋a2＋a3＝，‎ ‎ 又数列{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎ 所以a1＋2a1＋4a1＝，解得a1＝， ‎ ‎ 因此an＝×2n－1．‎ ‎ 此时a1a2＝＜a1≤an，即a1a2不为数列{an}中的项，‎ ‎ 因此数列{an}不满足条件P． ‎ ‎ 选③，‎ ‎ 因为a2a3＝4a4，‎ ‎ 又数列{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎ 所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4， ‎ ‎ 因此an＝4×2n－1＝2n＋1． ‎ ‎ 此时任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，‎ 由于m＋n＋1∈N*，所以aman是为数列{an}的第m＋n＋1项，‎ ‎ 因此数列{an}满足条件P． ‎ ‎（2）因为数列{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎ 所以＝2，因此bn＝n×2n－1． ‎ 所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2，‎ 则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2＋n×2，‎ 两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2－n×2 ‎ ‎ ＝－n×2 ‎ ‎ ＝(1－n)2－1， ‎ 18‎ 所以Tn＝(n－1)2＋1．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：‎ ‎ 是否达标 性别 不达标 达标 男生 ‎36‎ ‎24‎ 女生 ‎10‎ ‎30‎ ‎（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?‎ 附：．‎ P(≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．‎ 解：（1）假设H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得 χ2＝＝≈11.836＞6.635，‎ 因为当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，‎ 所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． ‎ ‎（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；‎ 事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．‎ 由题意知：P(A)＝＝，P(B)＝＝．‎ 随机变量X的取值可能为0，1，2，3．‎ P(X＝0)＝(1－)2×(1－)＝，‎ P(X＝1)＝C××(1－)×(1－)＋×(1－)2＝，‎ P(X＝2)＝()2×(1－)＋C××(1－)×＝，‎ 18‎ P(X＝3)＝()2×＝． ‎ 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ 期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.55．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．‎ ‎（1）求证：CD⊥AE；‎ ‎（2）记二面角C—AE—D的平面角为，且，求实数的值．‎ ‎（1）证明：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PAÌ平面PAD，‎ 所以PA⊥平面ABCD． ‎ 又CDÌ平面ABCD，所以CD⊥PA． ‎ 在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝90°，‎ 又AB＝BC＝1，所以△ABC是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝．‎ 在△CAD中，∠CAD＝45°，AC＝，AD＝2，‎ 所以CD＝＝，从而AC2＋CD2＝4＝AD2．‎ 所以CD⊥AC． ‎ 又AC∩PA＝A，AC，PAÌ平面PAC，所以CD⊥平面PAC．‎ ‎ 又AEÌ平面PAC，所以CD⊥AE． ‎ 18‎ ‎（2）解：因为PA⊥平面ABCD，BA⊥AD，‎ z x P A B C D E y ‎ 故以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 因为AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，‎ 所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，‎ C(1，1，0)，D(0，2，0)，‎ 则＝(－1，1，0)，＝(0，2，0)．‎ 因为点E在棱PC上，且CE＝λCP，‎ 所以＝λ，‎ 设E(x，y，z)，则(x－1，y－1，z)＝λ(－1，－1，1)，‎ 故E(1－λ，1－λ，λ)，所以＝(1－λ，1－λ，λ)． ‎ 由（1）知，CD⊥平面PAC，所以平面ACE的一个法向量为n＝＝(－1，1，0)．‎ 设平面AED的法向量为m＝(x1，y1，z1)，‎ 由得 令z1＝1－λ，所以平面AED的一个法向量为m＝(－λ，0，1－λ)．‎ 因此 |cosθ|＝|cos|＝||＝||＝，‎ 化简得3λ－8λ＋4＝0，解得λ＝或2．‎ 因为E在棱PC上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝．‎ 所以当|cosθ|＝时，实数λ的值为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：．‎ ‎（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；‎ ‎（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．‎ 解：（1）因为椭圆C：＋y2＝1，所以F1(－，0)，F2(，0)．‎ 18‎ 设T(x0，y0)，则 ·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x02＋y02－3．‎ 因为点T(x0，y0)在椭圆C上，即＋y02＝1，所以·＝x02－2，且x02∈[0，4]，‎ 所以·的取值范围是[－2，1]．‎ ‎（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)．‎ 设B(x1，y1)，Ｄ(x2，y2)．‎ 由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝． ‎ 因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即 ·＝0，‎ 因此 (y1＋1)( y2＋1)＋x1x2＝0，即(kx1＋m＋1)( kx2＋m＋1)＋x1x2＝0，‎ 从而 (1＋k2) x1x2＋k(m＋1)( x1＋x2)＋(m＋1)2＝0，‎ 即 (1＋k2)×－k(m＋1)×＋(m＋1)2＝0，‎ 也即 4(1＋k2)( m－1)－8k2m＋(1＋4k2) (m＋1)＝0，‎ 解得m＝． ‎ 又线段BD的中点M(－，)，且AM⊥BD，‎ 所以＝－，即3m＝1＋4k2，解得k＝±．‎ 又当k＝±，m＝时，△＝64k2m2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝＞0，‎ 所以满足条件的直线l的方程为y＝±x＋.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，kR．‎ ‎（1）当k＝2时，求函数的单调区间；‎ 18‎ ‎（2）当0＜x≤1时，恒成立，求k的取值范围；‎ ‎（3）设n，求证：．‎ 解：（1）当k＝2时，f (x)＝2x－xlnx，f′(x)＝1－lnx，‎ ‎ 由f′(x)＞0，解得0＜x＜e；由f′(x)＜0，解得x＞e，‎ ‎ 因此函数f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)． ‎ ‎（2）f (x)＝kx－xlnx，故f′(x)＝k－1－lnx．‎ ‎ 当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k－1≥0≥lnx，‎ ‎ 因此f′(x)≥0恒成立，即f (x)在(0，1]上单调递增，‎ ‎ 所以f (x)≤f (1)＝k恒成立． ‎ ‎ 当k＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝ek－1∈(0，1)．‎ ‎ 当x∈(0，ek－1)，f′(x)＞0，f (x)单调递增；当x∈(ek－1，1)，f′(x)＜0，f (x)单调递减；‎ ‎ 于是f (ek－1)＞f (1)＝k，与f (x)≤k恒成立相矛盾． ‎ ‎ 综上，k的取值范围为[1，＋∞)． ‎ ‎ （3）由（2）知，当0＜x≤1时，x－xlnx≤1．‎ ‎ 令x＝(n∈N*)，则 ＋lnn≤1，即2lnn≤n2－1，‎ ‎ 因此≤． ‎ ‎ 所以＋＋…＋≤＋＋…＋＝． ‎ 18‎