2018届高三数学一轮复习： 第6章 第6节 课时分层训练37

2018届高三数学一轮复习： 第6章 第6节 课时分层训练37

课时分层训练(三十七)　数学归纳法 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(　　)‎ A．1　　　　　　　 B.2‎ C．3 D.4‎ C　[∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；‎ n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；‎ n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．‎ ‎∴n的第一个取值应是3.]‎ ‎2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)‎ A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 B　[本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)‎ ‎ 【导学号：01772235】‎ A.　　　　　　 B. C. D. C　[由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝ ‎.猜想an＝.]‎ ‎4．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为 ‎(　　)‎ ‎ 【导学号：01772236】‎ A．f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2‎ C　[边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n－1)条．]‎ ‎5．用数学归纳法证明3(2＋7k)能被9整除，证明n＝k＋1时，应将3(2＋7k＋1)配凑成(　　)‎ ‎ 【导学号：01772237】‎ A．6＋21·7k B.3(2＋7k)＋21‎ C．3(2＋7k) D.21(2＋7k)－36‎ D　[要配凑出归纳假设，故3(2＋7k＋1)＝3(2＋7·7k)＝6＋21·7k＝21(2＋7k)－36.]‎ 二、填空题 ‎6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题亦真．‎ ‎2k＋1　[n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．]‎ ‎7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为__________．‎ ‎(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2　[当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，‎ 则当n＝k＋1时，左端为 ‎1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，‎ 故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]‎ ‎8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f ‎(32)>，则其一般结论为__________________．‎ f(2n)>(n≥2，n∈N*)　[因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．]‎ 三、解答题 ‎9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2). ‎ ‎【导学号：01772238】‎ ‎[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.3分 ‎(2)假设n＝k时命题成立，即 ‎1＋＋＋…＋<2－.6分 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－ ‎＝2－命题成立.10分 由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立.12分 ‎10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．‎ ‎(1)求a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．‎ ‎[解]　(1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，‎ a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，‎ a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.5分 ‎(2)由(1)可猜想数列通项公式为：‎ an＝(n－1)λn＋2n.7分 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，‎ ‎②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，‎ 即ak＝(k－1)λk＋2k，9分 那么当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k ‎＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k ‎＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1‎ ‎＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，‎ 所以当n＝k＋1时，猜想成立，‎ 由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0).12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 D　[∵f(k)≥k2成立时，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，‎ ‎∴f(4)≥16时，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立．]‎ ‎2．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．‎ ‎5　(n＋1)(n－2)(n≥3)　[f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，‎ f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)‎ ‎＝2＋3＋4＋…＋(n－1)‎ ‎＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．]‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.‎ ‎(1)求a1，a2，a3的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)由题意知S2＝‎4a3－20，‎ ‎∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.2分 又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.‎ 又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，‎ ‎∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.‎ 综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.5分 ‎(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，结论显然成立；7分 ‎②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，‎ 则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．‎ 又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，‎ ‎∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，‎ 解得2ak＋1＝4k＋6，10分 ‎∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1. 12分