【数学】吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎（1）已知为虚数单位，设复数满足，则=‎ ‎（A）3 （B）4 （C） （D）10‎ ‎（2）若点M的直角坐标是，则点M的极坐标为 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（3）设（是虚数单位），则 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）阅读右面的程序框图，则输出的S＝ ‎ ‎（A）14 （B）20 ‎ ‎（C）30 （D）55‎ ‎（5）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是 ‎ ‎（A）3 （B）17 （C）51 （D）103 ‎ ‎（6）用秦九韶算法计算多项式在时的 值时，的值为 ‎ ‎（A）－845 （B）220 （C）－57 （D）34‎ ‎（7）若，则的最小值为 ‎（A） （B） （C）1 （D）‎ ‎（8）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是 ‎ ‎（A）假设三内角都不大于60° （B）假设三内角都大于60°‎ ‎（C）假设三内角至多有一个大于60° （D）假设三内角至多有两个大于60°‎ ‎（9）极坐标方程表示的图形是 ‎（A）两条直线　　　　　　　　 （B）两个圆 ‎（C）一条直线和一条射线 （D）一个圆和一条射线 ‎（10）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎（11）已知，，则的最小值是 ‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）1 ‎ ‎（12）直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的 ‎ 面积等于4，这样的点P共有 ‎ ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）‎ ‎（13）复数的实部是 ．‎ ‎（14）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为 ．‎ ‎（15）参数方程（t为参数）的普通方程为 ． ‎ ‎（16）已知点在曲线（为参数）上，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 实数分别取什么值时，复数是：‎ ‎（Ⅰ）实数； （Ⅱ）虚数； （Ⅲ）纯虚数．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解不等式：。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 用数学归纳法证明： ．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）若曲线（t为参数）与曲线相交于两点，求；‎ ‎（Ⅱ）若是曲线上的动点，且点的直角坐标为，求的最大值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：．‎ 参考答案 一、 选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A C C C D B D B ‎ A B 二、填空题 ‎（13）－1 （14） （15） （16）‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ 实部，虚部.‎ ‎（Ⅰ）当 时，是实数；‎ ‎（Ⅱ）当，且时，是虚数；‎ ‎（Ⅲ） 当 或 时是纯虚数．‎ ‎18．解：‎ ‎（Ⅰ）当时，，∴原式恒成立。‎ ‎（Ⅱ）当时，，原式化为原式化为，即。‎ ‎（Ⅲ）当时，，原式无解。 ‎ ‎ 综上，不等式的解集为 ‎19．证明：‎ ‎（1）当时，左边，右边，等式成立。‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，‎ 那么，‎ 即当时等式也成立，根据（1）（2），可知等式对任何都成立。‎ ‎20．解：‎ ‎（Ⅰ）化为直角坐标方程为，‎ ‎（t为参数）化为普通方程为，‎ ‎∴弦长。‎ ‎（Ⅱ）在曲线上，设（为参数），‎ 则，其中，所以的最大值为。‎ ‎21. 解：‎ ‎（Ⅰ）由题意，知不等式解集为 由，得，所以，由，解得．‎ ‎（Ⅱ）不等式等价于，‎ 由题意知．‎ 因为，‎ 所以，即对任意都成立，则．‎ 而，当且仅当，即时等号成立，‎ 故，所以实数的最小值为4．‎ 而，当且仅当，即时等号成立，‎ 故，所以实数的最小值为4．‎ ‎22．证明：‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴。‎ ‎（Ⅱ）， ‎ ‎∵，∴，即， ‎ 同理，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎,≤≤5‎ ‎∴。‎