河北省保定市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

河北省保定市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

‎2019—2020学年度第一学期期末调研考试 高二数学试题 注意事项:‎ ‎1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎2.答卷前,考生务必将自己的姓名､学号､学校､考试科目填写清楚.‎ ‎3.参考公式:最小二乘法求线性回归方程系数公式:,,回归直线方程.‎ 一､选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设命题:,,则为( )‎ A. , B. ,‎ C. D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有一个量词的命题的否定，写出，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为命题:，，‎ 所以，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.‎ ‎2.若复数满足,则( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行计算化简，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所以 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的综合运算，属于简单题.‎ ‎3.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. 1 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点A到抛物线的准线：的距离为：，‎ 利用抛物线的定义可得：，‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.一正方体的棱长为2,且每个顶点都在球的表面上,则球的半径为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的棱长，求出其外接球的直径再得到其半径.‎ ‎【详解】因为正方体的棱长为2，且每个顶点都在球的表面上，‎ 所以得到其外接球的直径为 ‎，‎ 所以球的半径为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查求正方体的外接球的半径，属于简单题.‎ ‎5.甲､乙两人去某公司面试,二人各自等可能地从､两个问题中选择1个回答,则他们都选择到题的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出所有的情况，然后得到符合要求的情况，根据古典概型公式，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，甲、乙选择的问题，共有，，，，四种情况，‎ 其中都选到题的情况只有种，即，‎ 根据古典概型公式，得到概率为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于简单题.‎ ‎6.设双曲线的左､右焦点分别为,,若双曲线上存在一点,使,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义，结合，得到和，然后根据勾股定理，得到的关系，从而得到双曲线的离心率.‎ ‎【详解】因为点在双曲线上，且，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 因为，所以 即，‎ 整理得，‎ 所以离心率.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，根据几何关系求双曲线的离心率，属于简单题.‎ ‎7.设函数在点处的切线为,则在轴上的截距为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到，代入，得到切线斜率，结合切点，得到切线方程，‎ 从而得到其在轴上的截距.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以，‎ 代入，得，‎ 而，‎ 所以在处的切线的方程为：‎ ‎，‎ 整理得，‎ 令，得 所以与轴的截距为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据导数几何意义求在一点的切线，属于简单题.‎ ‎8.已知:指数函数在上单调递减,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到命题中的范围，根据是的必要不充分条件，得到关于的不等式组，得到的范围.‎ ‎【详解】因为命题:指数函数在上单调递减，‎ 所以，即，‎ 命题:，‎ 因为是的必要不充分条件 所以，解得 所以的范围为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数的单调性求参数范围，根据必要不充分条件求参数的范围，属于简单题.‎ ‎9.如图,在正方体中,对于以下三个命题:‎ ‎①直线与直线所成角的大小为;‎ ‎②直线与平面所成角大小为;‎ ‎③直线与平面所成角大小为.‎ 其中真命题的个数是( )‎ A. 0 B. 1‎ C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线所成的角，线面角对三个命题进行判断，从而得到答案.‎ ‎【详解】在正方体中，且，‎ 所以为平行四边形，‎ 所以 所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角，‎ 即，‎ 而是正方体的面对角线，所以相等，‎ 所以为等边三角形，故，‎ 故①正确.‎ 在正方体中，平面，‎ 所以直线与平面所成角为，‎ 故②错误.‎ 连接交于，则，‎ 在正方体中，平面，‎ 所以，‎ 平面，，‎ 所以平面，‎ 所以为直线与平面所成角，‎ 在直角三角形中，，‎ 所以 所以直线与平面所成角大小为.‎ 故③正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，属于中档题.‎ ‎10.已知函数在其定义域内的子区间上不单调,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导得到，然后利用导数得到的单调区间，根据在上不单调，从而得到关于的不等式，得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以 令，即，‎ 解得或（舍）‎ 所以时，，单调递减，‎ 时，，单调递增，‎ 而在区间上不单调，‎ 所以 解得，‎ 因为是函数定义域内的子区间，‎ 所以，即，‎ 所以的范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.‎ ‎11.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程转化为由且只有两个不同的实数根，看成与有且只有两个不同的交点，即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率的范围.‎ ‎【详解】方程有且只有两个不同的实数根，‎ 得有且只有两个不同的实数根，‎ 即与有且只有两个不同的交点，‎ 即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，‎ 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为 即，解得，‎ 当直线过时，斜率为，‎ 所以的取值范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.‎ ‎12.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为,,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形三边关系，求得的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围.‎ ‎【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，‎ ‎，，，‎ 是以为底边的等腰三角形，若，‎ 则，，‎ 由椭圆的定义可得，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 即有，，‎ 根据三角形三边关系可得，即，‎ 所以，‎ 根据离心率公式可得，‎ 因为，所以，‎ 则有，‎ 所以的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题.‎ 二､填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最简答案填在答题卡的横线上)‎ ‎13.已知是函数的极值点,则实数的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，得到，根据是函数极值点，从而得到，得到值.‎ ‎【详解】函数，‎ 所以，‎ 因为是的极值点，‎ 所以，即 所以.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，属于简单题.‎ ‎14.已知正方体的棱长为2,则点到平面的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接交于，通过线面垂直的判定，得到平面，根据正方体的棱长，得到点到平面的距离.‎ ‎【详解】连接交于，‎ 因为正方体，所以面为正方形，‎ 所以，‎ 在正方体中，平面，‎ 而平面，‎ 所以 平面，‎ 所以平面，‎ 所以为点到平面的距离，‎ 又因为正方体的棱长为，‎ 所以到平面的距离为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定，求点到平面的距离，属于简单题.‎ ‎15.已知椭圆:,点是椭圆上的一个动点,满足(为坐标原点,为椭圆的右焦点),则点的横坐标的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，根据，得到的关系，代入椭圆方程，得到关于 的不等式，解得的范围，结合椭圆上点的横坐标范围，得到答案.‎ ‎【详解】椭圆:，‎ 为椭圆的右焦点，所以 设点，所以，，‎ 由，得 又因在椭圆:上，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得，‎ 因为因在椭圆:上，‎ 所以，‎ 所以点的横坐标的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，椭圆上点的范围，属于中档题.‎ ‎16.已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围.‎ ‎【详解】对任意都存在使成立，‎ 所以得到，‎ 而，所以，‎ 即存在，使，‎ 此时，，‎ 所以，‎ 因此将问题转化为 存在，使成立，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当，，单调递增，‎ 所以，‎ 即，所以，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.‎ 三､解答题(解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)‎ ‎17.有人收集了七月份的日平均气温(摄氏度)与某冷饮店日销售额(百元)的有关数据,为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如下:‎ 日平均气温(摄氏度)‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ 日销售额(百元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 由资料可知,与成线性相关关系.‎ ‎(1)求出关于的线性回归方程;‎ ‎(2)根据所求回归直线方程预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的日销售情况.‎ ‎【答案】（1）.（2）1320元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中数据得到和，再计算出和，从而得到线性回归方程；（2）代入到回归方程，得到该冷饮店的日销售额.‎ ‎【详解】解:(1)由表中数据得:‎ ‎，，‎ ‎∵， ‎ ‎ ，‎ 所以.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎(2)将代入回归方程，得，‎ 故预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的销售额为1320元.‎ ‎【点睛】本题考查求线性回归方程，根据线性回归方程进行估计，属于简单题.‎ ‎18.已知圆的圆心在轴上,在轴上截得的弦长为6,且过点.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)过做两条与圆相切的直线,切点分别为,,求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆心，根据几何关系得到的方程，从而得到圆心坐标，再求出，得到半径，从而得到圆方程；（2）过点的直线为圆的切线，得到点坐标，根据几何关系，得到的斜率，从而得到直线的方程.‎ ‎【详解】解:(1)设圆心，‎ 因为圆心到轴的距离为，，圆在轴上截得弦长为6，‎ 由几何关系得，‎ 解得，圆心，‎ 半径，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎(2)由已知得过点的直线为圆的切线，易得切点，‎ 因为，，所以，‎ 由几何关系知，即 所以得，‎ 由点斜式得直线方程为，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查根据圆的弦长求圆的方程，过圆外一点求切线方程，属于简单题.‎ ‎19.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制,若某校学生选择物理学科的人数为800人,高二期中测试后,由学生的物理成绩,调研选课走班制学生的学习情况及效果,为此决定从这800人中抽取人,其频率分布情况如下:‎ 分数 频数 频率 ‎8‎ ‎0.08‎ ‎18‎ ‎0.18‎ ‎20‎ ‎0.2‎ ‎0.24‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎0.10‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 合计 ‎1‎ ‎(1)计算表格中,,的值;‎ ‎(2)为了了解成绩在,分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.‎ ‎【答案】（1）,,.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率的定义，求出，再根据分数段的频率得到，根据分数段的频数得到；（2）根据，分数段学生的人数，利用分层抽样，得到所抽取的人数，列出从其中抽取人的情况，根据古典概型的概率公式，得到答案.‎ ‎【详解】解:(1)因为分数段的频数为，频率为，‎ 所以，‎ 分数段的频率为 所以，‎ 分数段的频数为，‎ 所以.‎ ‎(2)，分数段学生的分别为20人，10人，‎ 用分层抽样的方法抽取6人，‎ 则分数段抽取学生为4人，记为，，，；‎ 分数段抽取学生为2人，记为，.‎ 从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，‎ 它们是，，，，，，，，，，，，，，.‎ 又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，‎ 即，，，，，，，，‎ 故所求的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查补全频率分布表，分层抽样的特点，古典概型求概率，属于简单题.‎ ‎20.如图在四棱锥中,底面为矩形,,,平面平面,为等腰直角三角形,且,为底面的中心.‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(2)若为中点,在棱上,若,,且二面角的正弦值为,求实数的值.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面，，得到面，以为原点建立空间直角坐标系，得到，的坐标，根据向量夹角公式，得到异面直线与所成角的余弦值；（2）设，从而得到点坐标，结合（1）取平面的法向量，求出平面的法向量为，通过法向量表示出二面角 的余弦值，根据其正弦值为，列出关于的方程，求出的值.‎ ‎【详解】（1）∵为等腰直角三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∵面面， ‎ 面面，面 ‎∴面，‎ ‎∵底面为矩形， 所以，，三条线两两垂直.‎ 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 知，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）结合（1）知，面，‎ 取平面的法向量.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 又，，‎ ‎，即，‎ 令，得，‎ 又因为二面角的正弦值为，‎ 所以，‎ 而，‎ 即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量求异面直线所成的夹角，根据二面角求参数的值，属于中档题.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）时，函数在单调递增，无减区间；‎ 时，函数在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单调性和零点，得到答案.‎ ‎【详解】解:（1）函数定义域是，‎ ‎，‎ 当时，，函数在单调递增，无减区间；‎ 当时，令，得到，即，‎ 所以，，单调递增，‎ ‎，，单调递减，‎ 综上所述，时，函数在单调递增，无减区间；‎ 时，函数在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由已知在恒成立，‎ 令，，可得，‎ 则，‎ 所以在递增，‎ 所以，‎ ‎①当时，，在递增，‎ 所以成立，符合题意.‎ ‎②当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，使，‎ 即时，‎ 在递减，，不符合题意.‎ 综上得.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎22.设,分别为椭圆:的左､右焦点,已知椭圆上的点到焦点,的距离之和为4.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点作直线交椭圆于,两点,线段的中点为,连结并延长交椭圆于点(为坐标原点),若,,等比数列,求线段的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆定义，代入点，得到和，从而得到椭圆方程；（2）根据（1）得到，根据题意得到，当直线斜率不存在时，说明不成立，当直线斜率存在，设为，与椭圆联立得到，，再得到点坐标，求出方程，得到，利用弦长公式，得到，从而得到关于的方程，解得值，得到的方程.‎ ‎【详解】解:（1）因为椭圆上的点到焦点，的距离之和为4‎ 所以，即，‎ 将点代入椭圆方程得，得，‎ 故椭圆方程为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以焦点､的坐标分别为和，，‎ 因为，，成等比数列，‎ 所以.‎ ‎①当直线斜率不存在时，则所求方程为，，.‎ 显然不符合题意.‎ ‎②当直线斜率存在，并设直线方程为，‎ 代入得，‎ 设，，则，，‎ 所以，，‎ 即点坐标为，‎ 所以可得直线方程为:，‎ 代入椭圆方程解得，，‎ 故，‎ 又因为，‎ 代入，得，解得，‎ 故直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，属于中档题.‎