数学人教B版必修4教案：1-2-4 诱导公式（三） Word版

数学人教B版必修4教案：1-2-4 诱导公式（三） Word版

1.2.4 诱导公式（三） 一、学习目标 1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式， 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简 与三角恒等式的证明； 2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能 力； 二、教学重点、难点 重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用. 难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法 复习课。通过由浅入深的例题，讲练结合。 四、教学过程 教 学 环 节 教学内容 师生互动 设计意图 复 习 引 入 复习提问： 四组诱导公式的内容 老师提问，学 生回答。 温故知新 例 题 讲 授 例 1．求下列三角函数的值 (1) sin240º； (2) 4 5cos  ； (3) cos(-252 º)；(4) sin（- 6 7 ） 解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º = 2 3 (2) 4 5cos  =cos       4  = 4cos  = 2 2 ； (3) cos(-252º)=cos252º= cos(180º+72º)= 说明： 本题是诱导 公式二、三 的 直 接 应 用．通过本 题的求解， 使学生在利 用公式二、 三求三角函 数的值方面 得 到 基 本 的、初步的 训练．本例 中的（3）可 使用计算器 或查三角函 数表． 说 明 ： －cos72º=－0 3090； (4) sin （ - 6 7 ） = － sin 6 7 = － sin       6  =sin 6  = 2 1 例 2．求下列三角函数的值 (1)sin(-119º45′)；(2)cos 3 5 ；(3)cos(-150 º)；(4)sin 4 7 解：(1)sin(－119º45′)=－sin119º45′=－ sin(180º-60º15′) = － sin60 º 15 ′ = － 0 8682 (2)cos 3 5 =cos( 32   )=cos 3  = 2 1 (3)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－ cos30º= 2 3 ； (4)sin 4 7 =sin( 42   )=－sin 4  = 2 2 例 3 ． 求 值 ： sin      6 31 － cos      3 10 － sin 10 11 略解：原式 学生先做， 老师对答案。 重点问题 重点讲解。 本题是公式 二，三的直 接应用，通 过本题的求 解，使学生 在利用公式 二、三求三 角函数的值 方面得到基 本的、初步 的训练．本 题中的（1） 可使用计算 器或查三角 函数表． =-sin       6 74  -cos       3 42  -sin 10 11 =-sin       6  -cos       3  +sin10  =sin 6  +cos 3  +sin 10  = 2 1 + 2 1 +0 3090=1 3090 例 4． 求 值 ： sin(-1200 º ) · cos1290 º +cos(-1020 º)·sin(-1050º)+tan855º 解：原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360 º) +cos(300 º +2 · 360 º )[-sin(330 º +2 · 360 º)]+tan(135º+2·360º) ＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º +tan135º ＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º) － cos(360 º － 60 º ) · sin(360 º -30 º)+ )45180cos( )45180sin(   =sin60º· cos30º+cos60º·sin30º －tan45º 说 明 ： 本题考查了 诱 导 公 式 一、二、三 的应用，弧 度制与角度 制的换算， 是一道比例 1 略难的小 综合题．利 用公式求解 时，应注意 符号． 说 明 ： 本题的求解 涉及了诱导 公式一、二、 三以及同角 三角函数的 关系．与前 面 各 例 比 较，更具有 综合性．通 过本题的求 解训练，可 使学生进一 步熟练诱导 公式在求值 中的应用． = 2 3 · 2 3 + 2 1 · 2 1 -1=0 例 5．化简： )sin()5cos( )4cos()3sin(     略解：原式 = )]sin([)cos( cos)sin(     =   cos cos =1 例 6．化简： )()2cos()2sin( ])12([sin2])12([sin Znnn nn     解：原式 = )2cos()2sin( ]2)sin[(2]2)sin[(     nn nn =   cossin )sin(2)sin(  =   cossin sin2sin  = cos 3 例 7．求证： )sin()cos( )2cos()4sin( )tan()sin( )cos( )4cos()3sin(           说 明 ： 化简三角函 数式是诱导 公式的又一 应用，应当 熟悉这种题 型． 说 明 ： 本题可视为 例 5 的姐妹 题，相比之 下，难度略 大 于 例 5．求解时应 注意从所涉 及的角中分 离出 2  的 整数倍才能 利用诱导公 式一． 证 明 ： 左 边 = )cos( )sin( )sin( )cos( cos]4)sin[(          =      cos sin sin cos cos)sin(   =    cossin sincos sincos 22    =     sincossincos cossin)sin(cos   =   cossin cossin   ， 右边=   sincos cossin   =   cossin cossin   ， 所以，原式成立． 例 8 ． 求 证    3tan )360sin()540sin( 1 )180cos()cos( 1    证明：左边＝     sinsin 1 coscos 1 sin)180sin( 1 coscos 1      ＝       2 2 2 2 coscos sinsin sin sin1 cos cos1    ＝tan3α＝右边， 所以，原式成立． 例 9．已知  22 3 2 1)cos(  ， ．求： 说 明 ： 例 7 和例 8 是诱导公式 及同角三角 函数的基本 关系式在证 明三角恒等 式中的又一 应用，具有 一定的综合 性．尽管问 题是以证明 的形式出现 的，但其本 质 是 等 号 左、右两边 三角式的化 简． )2sin(   的值． 解：已知条件即 2 1cos  ， 又  22 3  ， 所以： )cos1(sin)2sin( 2   = 2 3)2 1(1 2  例 10．已知 223)360tan(1 )720tan(1     ,求: )2(cos 1)](sin2 )cos()sin()([cos 2 2 2       的值 解：由 223)360tan(1 )720tan(1     ，得 222tan)224  （ ， 所以 2 2 224 222tan    故 学生观察 分析，老师启 发 ， 边 讲 边 练。 说 明 ： 本题是在约 束条件下三 角函数式的 求 值 问 题．由于给 出了角 的 范围，因此，  的三角函 数的符号是 一定的，求 解时既要注 意诱导公式 本身所涉及 的符号，又 要注意根据  的范围确 定三角函数 的符号． )2(cos 1)](sin2 )cos()sin()([cos 2 2 2       =   2 22 cos 1]sin2cossin[cos  =1＋tan ＋2tan2 =1+ 2)2 2(22 2  2 22  例 11．已知 )3 2tan()0()3cos(3 2 6   ，求， mm 的值． 解：因为 ）（ 33 2   ， 所以： )]3(cos[)3 2cos(   = )3cos(   ＝－m 由于 ， 3 2 6   所以 ， 23 20   于是： )3 2(cos1)3 2sin( 2   = 21 m ， 所以： 说 明 ： 本题也是有 约束条件的 三角函数式 的 求 值 问 题，但比例 9 要复杂一 些．它对于 学生熟练诱 导公式及同 角三角函数 关系式的应 用．提高运 算能力等都 能起到较好 的作用． tan )3 2cos( )3 2sin( )3 2(       = m m 21 例 12．已知 cos 3 2 ，角   的终边在 y 轴的非负半轴上，求 cos  32  的值． 解：因为角   的终边在 y 轴的非负半轴上， 所以：   = )(22 Zkk   ， 于是 2（   ）= )(4   kk 从而 ，)(432 Zkk   ]4)cos[()32cos(  k = )cos(   = cos = 3 2 三、课堂练习： 1．已知 sin( +π)＝ － 2 1 ，则 )7cos( 1   的值是（ ） （A） 3 32 (B) －2 (C)－ 3 32 (D)± 3 32 说明： 通过观察， 获 得 角 3   与 角   3 2 之 间的关系式   3 2 = - （ 3   ）， 为顺利利用 诱导公式求 cos(   3 2 ) 的 值 奠 定 了基础，这 是求解本题 的关键，我 们应当善于 引导学生观 察，充分挖 掘的隐含条 件，努力为 解决问题寻 找突破口， 本题求解中 一个鲜明的 2．式子 )690sin(630sin )585cos(   的值是 （ ） （A） 22 (B) 2 (C) 3 2 (D)- 3 2 3． ，β，γ是一个三角形的三个内角，则 下列各式中始终表示常数的是（ ） （A）sin( +β)+sinγ (B)cos( β + γ )- cos (C)sin( +γ)-cos(-β)tanβ (D)cos(2 β + γ )+ cos2 4．已知：集合    ZkkxxP ,3 )3(sin|  ， 集 合    ZkkyyQ ,3 )21(sin|  ，则 P 与 Q 的关系是 （ ）． （A）P Q (B)P  Q (C)P=Q (D)P∩Q=φ 5．已知  sin)2cos(,cos)2sin(  对任意角 均成立．若 f (sinx)=cos2x，则 f(cosx) 等于（ ）． （A）-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x 特点是诱导 公式中角的 结构要由我 们通过对已 知式和欲求 之式中角的 观察分析后 自己构造出 来，在思维 和技能上显 然都有较高 的要求，给 我们全新的 感觉，它对 于培养学生 思维能力、 创新意识， 训练学生素 质有着很好 的作用． 说明 ： 本 题 求 解 中，通过对 角   的 终边在 y 轴 (D)sin2x 6．已知 9 2 3)cos( )cos(31     ，则 )5sin( )3cos(     的 值等于 ． 7． 5 4cos5 3cos5 2cos5cos   = ． 8 ． 化 简 ： )360cos()180cos()360tan( )900sin()sin(     所得的结果是 ． 9．求证    3cot )360cos()540cos( 1 )180sin()sin( 1    ． 10．设 f(x)= )( ])12[(cos )(sin)(cos 2 22 Zn xn xnxn      ， 求 f ( 6  )的值． 答案与提示 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．± 4 3 7．0 8．－2cosα 9．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得   3 3 sin cos ，右边利用倒数关系和商数关系，得   3 3 sin cos ，所以左边=右边． 10． 4 1 ． 的非负半轴 上的分析而 得 的   = )(22 Zkk   ，还不能马 上将未知与 已知沟通起 来．然而， 当我们通过 观察，分析 角  32  的 结 构 特 征，并将它 表 示 为 2 （   ）  后，再 将   =  k22  代 入，那么未 知和已知之 间随即架起 了 一 座 桥 梁，它为利 用诱导公式 迅速求值扫 提示：分 n=2k，n=2k+1(k∈z)两种情况讨论， 均求得 f(x)=sin2x．故 f( 6  )= 4 1 ． 四、小结 四组诱导公式的作用：任意一个角 都可以表示为 )4(2   其中k 的形式。 这样由前面的公式就可以把任意角的三角函 数求值问题转化为 0 到 4  之间角的三角函数 求值问题。 五、课后作业： 清 了 障 碍．通过本 题的求解训 练，对于培 养学生的观 察分析能力 以及思维的 灵活性和创 造性必将大 有裨益．