2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§4-1　导数的概念及运算（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§4-1　导数的概念及运算（讲解部分）

考点一　导数的概念及几何意义 　　1.导数的概念:称函数 f ( x )在 x = x 0 处的瞬时变化率     =     为函数 f ( x )在 x = x 0 处的导数,记作 f '( x 0 )或 y '   ,即 f '( x 0 )=     . 2.导数的几何意义:函数 y = f ( x )在点 x 0 处的导数 f '( x 0 )就是曲线 y = f ( x )在点 P ( x 0 , y 0 )处的切线的斜率,即 k =①      f '( x 0 )     .相应地,切线方程为②      y - f ( x 0 )= f '( x 0 )( x - x 0 )  . 3.导数的物理意义:函数 s = s ( t )在点 t 0 处的导数 s '( t 0 )是物体的运动方程 s = s ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度 v ,即 v = s '( t 0 ); v = v ( t )在点 t 0 处的导数 v '( t 0 )是物体的运动方 程 v = v ( t )在 t 0 时刻的瞬时加速度 a ,即 a = v '( t 0 ). 考点清单 考点二　导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f ( x )= C ( C 为常数) f '( x )=0 f ( x )= x n ( n ∈Q * ) f '( x )=③      nx n -1      f ( x )=sin x f '( x )=cos x f ( x )=cos x f '( x )=④ 　-sin x      f ( x )= a x ( a >0,且 a ≠ 1) f '( x )=⑤      a x ln a      f ( x )=e x f '( x )=e x f ( x )=log a x ( a >0,且 a ≠ 1) f '( x )=   f ( x )=ln x f '( x )=⑥             2.导数的运算法则 3.复合函数的导数 复合函数 y = f [ g ( x )]的导数和函数 y = f ( u ), u = g ( x )的导数间的关系为 y ' x = y ' u · u ' x , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 运算 法则 加减 [ f ( x ) ± g ( x )]'= f '( x ) ± g '( x ) 积 [ f ( x )· g ( x )]'=⑦      f '( x ) g ( x )+ f ( x ) g '( x )     商   '=⑧        ( g ( x ) ≠ 0)     考法一 　与导数运算有关的问题 知能拓展 例1 　已知函数 f ( x )满足 f ( x )= f '(1)e x -1 - f '(0) x +   x 2 ,求 f ( x )的解析式. 解题导引　 要求 f ( x )的解析式,需要求哪些量?解抽象函数问题常用哪些方 法? f '(1), f '(0)是常数,先对 f ( x )求导,再赋值,利用方程思想求出 f '(0)及 f '(1). 解析 　∵ f ( x )= f '(1)e x -1 - f '(0) x +   x 2 ,∴ f '( x )= f '(1)e x -1 - f '(0)+ x . 分别令 x =1, x =0,得   解得   因此 f ( x )=2e·e x -1 - x +   x 2 =2e x - x +   x 2 . 方法总结 　与含参数问题相结合,类似于抽象函数问题,用赋值法求解. 例2 　设函数 f ( x )= x m + ax 的导函数 f '( x )=2 x +1,则数列   ( n ∈N * )的前 n 项 和是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解题导引 　要求   的前 n 项和,应先求出 f ( n ),由 f '( x )= mx m -1 + a , f '( x )=2 x + 1,可得   进而得 f ( x )= x 2 + x ,因此   =   =   =   -   ,裂项相消 法求和. 解析 　∵ f ( x )= x m + ax ,∴ f '( x )= mx m -1 + a ,又 f '( x )=2 x +1,∴   ∴ f ( x )= x 2 + x ,∴   =   =   -   , ∴数列   的前 n 项和为   +   + … +   =1-   =   ,故 选A. 答案     A 考法二 　与曲线的切线相关的问题 例3     (2019广东深圳二模,5)已知函数 f ( x )= ax 2 +(1- a ) x +   是奇函数,则曲线 y = f ( x )在 x =1处的切线的倾斜角为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解题导引 　由 f ( x )是奇函数,先求出 a 的值,再求导函数 f '( x ),当 x =1时,导函数 值 f '(1)是曲线 y = f ( x )在 x =1处切线的斜率,进而求出倾斜角. 解析 　由函数 f ( x )= ax 2 +(1- a ) x +   是奇函数,得 f (- x )=- f ( x ),可得 a =0,则 f ( x )= x +   ,则 f '( x )=1-   ,故曲线 y = f ( x )在 x =1处的切线斜率 k =1-2=-1,可得所求切线 的倾斜角为   ,故选B. 答案     B 方法总结　 求曲线的切线斜率的方法步骤:求导数——求斜率——根据范 围得斜率. 例4     (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线 y = kx + b 是曲线 y =ln x +2的切线,也是曲线 y =ln( x +1)的切线,则 b = 　　　     . 解题导引 　与例3的不同之处是:有两条曲线,且两切点未知,因此转化为求 两条曲线上两个点处的切线方程问题.第一步,先设出两个切点;第二步,用 k 表示出两个切点的坐标;第三步,建立方程组,求解. 解析 　直线 y = kx + b 与曲线 y =ln x +2, y =ln( x +1)均相切,设切点分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由 y =ln x +2得 y '=   ,由 y =ln( x +1)得 y '=   , ∴ k =   =   ,∴ x 1 =   , x 2 =   -1, ∴ y 1 =-ln k +2, y 2 =-ln k .即 A   , B   . ∵ A 、 B 在直线 y = kx + b 上, ∴   ⇒   答案 　1-ln 2 例5　 设函数 f ( x )= x 3 + ax 2 ,若曲线 y = f ( x )在点 P ( x 0 , f ( x 0 ))处的切线方程为 x + y =0, 则点 P 的坐标为   (　　) A.(0,0)　    B.(1,-1) C.(-1,1)　    D.(1,-1)或(-1,1) 解析 　∵ f ( x )= x 3 + ax 2 ,∴ f '( x )=3 x 2 +2 ax . ∵曲线在点 P ( x 0 , f ( x 0 ))处的切线方程为 x + y =0,∴3   +2 ax 0 =-1. 由题意得 x 0 +   + a   =0,∴   或   当 x 0 =1时, f ( x 0 )=-1, 当 x 0 =-1时, f ( x 0 )=1. ∴点 P 的坐标为(1,-1)或(-1,1).故选D. 答案     D 方法总结 　若已知曲线 y = f ( x )过点 P ( x 0 , y 0 ),求曲线过点 P 的切线方程,则需分 点 P ( x 0 , y 0 )是切点和不是切点两种情况求解. (1)当点 P ( x 0 , y 0 )是切点时,切线方程为 y - y 0 = f '( x 0 )( x - x 0 ). (2)当点 P ( x 0 , y 0 )不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标 P '( x 1 , f ( x 1 )); 第二步:写出曲线在点 P '( x 1 , f ( x 1 ))处的切线方程 y - f ( x 1 )= f '( x 1 )( x - x 1 ); 第三步:将点 P 的坐标( x 0 , y 0 )代入切线方程求出 x 1 ; 第四步:将 x 1 的值代入方程 y - f ( x 1 )= f '( x 1 )( x - x 1 ),可得过点 P ( x 0 , y 0 )的切线方程. 注意　 切点( x 0 , y 0 )的三重身份的灵活应用,即①切点在切线上;②切点在曲 线上;③切线斜率 k = f '( x 0 ). 例     (2019四川绵阳月考)过点 A (2,1)作曲线 f ( x )= x 3 -3 x 的切线,最多有   (    　) A.3条　    B.2条　    C.1条　    D.0条 创新思维 解题导引 　本题考查导数的几何意义,考查方式有所创新,求符合条件的切线最多有几条.创新之一:点 A (2,1)不在曲线上,本质上是切点未知,因此设出切点,转化为切点未知的求切线方程问题;创新之二:体现了解法的灵活性,要确定切线的条数就是确定切线上切点的个数问题,可以用零点存在性定理求解,也可以用导数法,转化为确定方程根的个数问题;创新之三:对切线定义的考查,切线与曲线相切时,切线与曲线的切点未必唯一,充分理解曲线的切线定义. 解析 　解法一:∵ f ( x )= x 3 -3 x ,∴ f '( x )=3 x 2 -3. 设切点 P ( x 0 ,   -3 x 0 ),则切线斜率 k = f '( x 0 )=3   -3, 则曲线在点 P 处的切线方程是 y -(   -3 x 0 )=(3   -3)( x - x 0 ), ∵点 A (2,1)在切线上,∴上式可化简为2   -6   +7=0. 设 g ( x )=2 x 3 -6 x 2 +7,因为 g (-1)=-1<0, g (0)=7>0, g (2)=-1<0, g (3)=7>0, 所以 y = g ( x )有3个零点,分别位于区间(-1,0),(0,2),(2,3)内, 即 g ( x )=0有3个根,从而有3个切点, 所以最多有3条切线. 解法二:因为 f ( x )= x 3 -3 x , 所以 f '( x )=3 x 2 -3. 设切点为 P ( x 0 ,   -3 x 0 ), 则切线的斜率为 f '( x 0 )=3   -3, 切线方程为 y -(   -3 x 0 )=(3   -3)( x - x 0 ). ∵点 A (2,1)在切线上,∴2   -6   +7=0. 设 g ( x )=2 x 3 -6 x 2 +7,则 g '( x )=6 x 2 -12 x .令 g '( x )=0,得 x =0或 x =2. 当 x =0时, g (0)=7>0;当 x =2时, g (2)=-1<0. 结合三次函数图象的特征可知有3个切点,所以最多有3条切线,选A. 解法三:由于本题是选择题,未涉及具体的切点,切线方程的求解,故可以画 出函数图象草图,直观分析即可.如图所示,通过旋转过 A 点的直线,可以发 现最多有3条切线. 答案     A