【数学】2019届一轮复习人教A版函数与方程思想、数形结合思想学案
【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.
【命题热点突破一】函数与方程思想
1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
例1、(1)设m，n是正整数，多项式(1－2x)m＋(1－5x)n中含x项的系数为－16，则含x2项的系数是( )
A．－13 B．6
C．79 D．37
(2)已知函数f(x)＝(x＋m)ln(x＋m)在x＝1处的切线斜率为1.
①若对∀x>0，恒有f(x)≥－x2＋ax－2，求实数a的最大值；
②证明：对∀x∈(0，1]和任意正整数n都有f(x)>－1.
【答案】(1)D
(2)解：f′(x)＝ln(x＋m)＋1，则f′(1)＝ln(1＋m)＋1＝1，得m＝0，即f(x)＝xln x.
①f(x)≥－x2＋ax＋2，即xln x≥－x2＋ax－2，又x>0，所以a≤ln x＋x＋.令h(x)＝ln x＋x＋，所以要使原不等式恒成立，则a≤h(x)min.
h′(x)＝＋1－＝＝.
当0
1时，h′(x)>0，h′(1)＝0，故x＝1时，h(x)取得极小值，即最小值，所以h(x)min＝h(1)＝3，所以a≤3，所以a的最大值为3.
【特别提醒】方程思想的本质是根据已知得出方程(组)，通过解方程(组)解决问题；函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是函数思想的一种主要体现．
【变式探究】
(1)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)．若∥，则实数m的值为( )
A. B．－
C．3 D．－3
(2)已知函数f(x)＝.
①求f(x)的单调区间；
②证明：当x>1时，x＋(x－3)eln x>0.
【答案】(1) D
【解析】＝－＝(3，1)．因为∥，所以＝，解得m＝－3.
(2)解：①f(x)＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，
f′(x)＝.
由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(0，1)，(1，)．
②证明：由①知，当x>1时，f(x)的最小值为f()＝＝2e.
令g(x)＝(－x2＋3x)e，x∈(1，＋∞)，则g′(x)＝(－x2－x＋3)e＝－(x－2)(x＋3)e.
当x>1时，由g′(x)>0得函数g(x)在区间(1，2)上单调递增；由g′(x) <0得函数g(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，
所以g(x)＝(－x2＋3x)e≤g(2)＝2e，
所以当x>1时，f(x)＝>g(x)＝(－x2＋3x)e，整理得x＋(x－3)eln x>0. 学
【命题热点突破二】数形结合思想
例2、(1) 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )
A．[－，1) B．[－，)
C．[，) D．[，1)
(2)向量a＝(2，0)，b＝(x，y)，若b与b－a的夹角为，则|b|的最大值为( )
A．4 B．2
C．2 D.
【答案】 (1)D (2)A
直线y＝ax－a过点(1，0)．
若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.
结合函数图像可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，则x0只能是0，故实数a应满足即解得≤a<1.
故实数a的取值范围是.
【特别提醒】数形结合思想主要是根据函数图像(或者其他几何图形)
，找到解决问题的思路，帮助建立数的运算或者推理(以形助数)的一种方法．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解 (或函数零点)的个数.
【变式探究】
(1)函数y＝f(x)为定义在R上的减函数，函数y＝f(x－1)的图像关于点(1，0)对称，x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(2y－y2)≤0，M(1，2)，N(x，y)，O为坐标原点，则当1≤x≤4时，·的取值范围为( )
A．[12，＋∞) B．[0，3]
C．[3，12] D．[0，12]
(2)已知向量α，β，γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一确定的β，|γ|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意β，m－n的最小值是( )
A. B．1
C．2 D.
【答案】(1)D (2)A
(2)平移向量α，β，γ
，使它们的起点位于点O处，终点分别记作A，B，C，如图所示，根据|α－β|＝|β|可知点B在OA的垂直平分线上．根据(α－γ)·(β－γ)＝0知点C在以AB为直径的圆上，故m－n等于圆的直径AB.又OB＝AB，所以要使AB最小，则只要OB最小即可，由图易知，当点B为线段OA的中点时，m－n取得最小值.
【高考真题解读】[ :学 ]
1．[2015·全国卷Ⅱ改编] 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________．[ : xx ]
【答案】42
【解析】由a1＝3，得a1＋a3＋a5＝3(1＋q2＋q4)＝21，所以1＋q2＋q4＝7，即(q2＋3)(q2－2)＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.
2．[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
【答案】
【解析】因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以解得λ＝t＝.
3．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编] 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________．
【答案】6
【解析】(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值是C，即a＝C；(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值是C，即b＝C，因为13a＝7b，所以13C＝7C，所以13＝7，解得m＝6.[ : *xx* ]
4．[2015·全国卷Ⅱ改编] 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1)∪(0，1)
5．[2014·辽宁卷改编] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】[－6，－2]
【解析】当－2≤x<0时，不等式转化为a≤，
令f(x)＝(－2≤x<0)，
则f′(x)＝＝，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤＝－2.当x＝0时，不等式恒成立．
当0
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