江西省新余市八校2019-2020学年高二上学期期中考数学（理）试题

江西省新余市八校2019-2020学年高二上学期期中考数学（理）试题

江西省新余市八校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接将分式不等式转化将为一元二次不等式，求解即可．‎ ‎【详解】不等式等价于，解得，‎ 所以不等式的解集为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的求法，考查转化思想与计算能力，属于基础题.‎ ‎2.在空间直角坐标系中，已知M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），则MN的中点Q到坐标原点O的距离为（　　）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），‎ ‎∴MN的中点Q（1，1，﹣1），‎ ‎∴Q到坐标原点O的距离|QO|=．‎ 故选A．‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A. 9 B. 45 C. 126 D. 270‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，直到不满足输出结果即可.‎ ‎【详解】按照程序框图运行程序，输入，，满足，循环；‎ ‎，，满足，循环；‎ ‎，，满足，循环；‎ ‎，，满足，循环；‎ ‎，，不满足，输出 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据循环结构的框图计算输出结果的问题，属于基础题.‎ ‎4.若样本平均数是4，方差是2，则另一样本的平均数和方差分别为（ ）‎ A. 12，2 B. 14，6 C. 12，8 D. 14，18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件推导出x1+x2+…+xn＝n，从而得到3x1+2，3x2+2，…3xn+2的平均数是3，由[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]＝s2，得到3x1+2，3x2+2，…3xn+2的方差是 ‎[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵x1，x2，…，xn 的平均数为=4，‎ ‎∴x1+x2+…+xn＝n，‎ ‎∴3x1+2，3x2+2，…3xn+2的平均数是：‎ ‎（3x1+2+3x2+2+…+3xn+2）÷n ‎＝[3（x1+x2+…+xn）+2n]÷n＝（3n2n）÷n＝32=14．‎ ‎∵x1，x2，…，xn 的方差为s2，‎ ‎∴[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]＝s2，‎ ‎∴3x1+2，3x2+2，…3xn+2的方差是：‎ ‎[（3x1+2﹣32）2+（3x2+2﹣32）2+…+（3xn+2﹣32）2]‎ ‎[（3x1﹣3）2+（3x2﹣3）2+…+（3xn﹣3）2]，‎ ‎[9（x1）2+9（x2）2+…+9（xn）2]，‎ ‎[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，‎ ‎＝9s2=18．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数和方差公式的合理运用．‎ ‎5.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）‎ ‎ 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198‎ ‎ 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481‎ A. 02 B. 07 C. 01 D. 06‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．‎ ‎【详解】选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为16，08，02，14，07，01，则第6个个体的编号为01．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎6.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24‎ C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．‎ ‎【详解】由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对 故选B．‎ ‎【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．‎ ‎7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则的值为（ ）‎ A. -3 B. -5 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得结论.‎ ‎【详解】由题意知，‎ 样本中心点的坐标为，‎ 线性回归方程为，‎ ‎，‎ 解得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎8.已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下面四个结论：‎ ‎①若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎②若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β；‎ ‎③若n⊥α，m∥α，则n⊥m；‎ ‎④若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β．‎ 其中正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．‎ ‎【详解】对于①，由面面平行的判定定理可得，若m、n互为异面直线，m∥α，n ‎∥β，则α∥β或相交，‎ 又因为m∥β，n∥α，则α∥β，故①正确；‎ 对于②，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β或α∥β或α，β相交，故②错误，‎ 对于③，若n⊥α，m∥α，则n⊥m；故③正确，‎ 对于④，若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β或n⊂β，故④错误，‎ 综上可得：正确的是①③，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了线面、面面的位置关系，考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用，属中档题．‎ ‎9.若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．‎ ‎【详解】根据程序框图，运行结果如下：‎ ‎ S k 第一次循环 log23 3‎ 第二次循环 log23•log34 4‎ 第三次循环 log23•log34•log45 5‎ 第四次循环 log23•log34•log45•log56 6‎ 第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7‎ 第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8‎ 故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．‎ 故答案为：D．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.‎ ‎10.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（   ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别取棱、、、、的中点、、、、，证明平面 平面，从而动点的轨迹所形成的区域是平面，再求面积得解.‎ ‎【详解】如图，分别取棱、、、、的中点、、、、，‎ 则，，，‎ 平面平面，‎ 点在正方体内部或正方体的表面上，若平面，‎ 动点的轨迹所形成的区域是平面，‎ 正方体的棱长为1，‎ ‎，，‎ 到的距离，‎ 动点的轨迹所形成的区域面积：‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、‎ 数形结合思想，是中档题．‎ ‎11.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】如图，,‎ ‎ ‎ 表面积为 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】空间几何体表面积的求法 ‎ (1)以三视图为载体几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎12.如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）‎ A. 与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B. 异面直线与所成角定值 C. 一定存在某个位置，使 D. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 取DC中点N，连MN,NB,则，‎ 所以平面平面，即平面，A正确；‎ 取的中点为F,连接MF,EF，则平面BEFM是平行四边形，‎ 所以为异面直线与所成角，故B正确；‎ A关于直线DE对称点N，则平面，即过O与DE垂直的直线在平面上，故C错误；‎ 三棱锥外接球的半径为，故D正确.‎ 故选C.‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为___．‎ ‎【答案】0795‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第40个号码为多少．‎ ‎【详解】∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，‎ 又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20‎ ‎∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795‎ 故答案为0795.‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样的实际应用，属于基础题.‎ ‎14.如图,△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O'A'=2, O'B' =3,则△AOB的周长为________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将直观图还原，再计算周长即可.‎ ‎【详解】根据课本知识刻画出直观图的原图为：‎ 其中OA=4，OB=3，根据勾股定理得到周长为：12.‎ 故答案为12.‎ ‎【点睛】这个题目考查了直观图和原图之间的转化，原图转化为直观图满足横不变，纵减半的原则，即和x轴平行或者重合的线长度不变，和纵轴平行或重合的直线变为原来的一半．‎ ‎15.已知点P（t，t1），t∈R，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则|PF||PE|的最大值为______‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图象发现两圆位于P点所在直线的不同侧，应先作出圆O：关于直线y=x1对称的圆O1，把|PF||PE|转化为|PF||PE′|，要使|PF||PE′|最大，则必须|PF|最大，|PE′|最小．‎ ‎【详解】∵P（t，t1）∴P点在直线y=x1上，‎ 作E关于直线y=x1的对称点E′，且圆O：关于直线y=x1对称的圆O1方程为：（x1）2+（y+1）2=，‎ 所以E′在圆O1上，∴|PE|=|PE′|，‎ 设圆的圆心为O2，‎ ‎∴|PE′|≥|PO1||E′O1|，|PF|≤|PO2|+|FO2|，‎ ‎∴|PF||PE|=|PF||PE′|≤（|PO2|+|FO2|）（|PO1||E′O1|）=|PO2||PO1|+2≤|O1O2|+2=4，‎ 当P、E′、F、O1、O2五点共线，E′在线段PO1上，O2在线段PF上时成立．‎ 因此，|PF||PE|的最大值为4．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题常采用的方法是对称变换．‎ ‎16.已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A－BD－C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．‎ ‎【答案】28π ‎【解析】‎ 如图1，取的中点，连接. 因为四边形是菱形，所以在平面上的投影为 ，所以，所以平面平面. 易得外接球的球心在平面内，如图2，在上取点，使，过点作垂直，过点作垂直于. 设与交于点 ，连接，则 ，则为球心. 易得垂直平分 ，其中，所以，所以，即外接球的表面积为，故答案为.‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；‎ ‎（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？‎ ‎【答案】（1）0.15（2）2400（3）25人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；‎ ‎(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；‎ ‎(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数.‎ ‎【详解】（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为 ‎（2）因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以样本数据的中位数为.‎ ‎（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为，‎ 所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为.‎ 从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，‎ 则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取(人).‎ ‎【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.‎ ‎18.如图，在四棱锥中， 平面，，，为中点．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)线段上是否存在一点，使平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在一点，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用线面平行的性质定理推证求解.‎ ‎【详解】（1）连接，‎ 在中，，‎ 又∵中点，，‎ ‎∴‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴，∵，∴平面，‎ 又∵平面，∴平面平面 ‎（2）线段上存在一点，且时，平面 证明如下：连接交于点，在平面中过点作，则交于 又∵平面平面 ‎∴平面，‎ ‎∵四边形，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴当时，平面 ‎19.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：‎ 单价（元）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 销量（册）‎ ‎61‎ ‎56‎ ‎50‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？‎ 附：，，，.‎ ‎【答案】(1) (2) 当单价应定为22.5元时，可获得最大利润 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到 ‎（2）计算利润为：计算最大值.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以对的回归直线方程为：．‎ ‎（2）设获得的利润为，‎ ‎，‎ 因为二次函数的开口向下，‎ 所以当时，取最大值，‎ 所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．‎ ‎【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：DE∥平面ACC1A1；‎ ‎（2）若三棱锥E－DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AB1，AC1，推导DE∥AC1，由此能证明DE∥平面ACC1A1．‎ ‎（2）由等体积法，得VE-DBC=VD-EBC，点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半，作AF⊥BC交BC于点F，由此能求出该正三棱柱的底面边长为1．‎ ‎【详解】（1）如图，连接AB1，AC1，‎ ‎∴D是A1B的中点，E是B1C1的中点，‎ ‎∴在△B1AC1中，DE∥AC1,‎ ‎∵DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1,‎ ‎∴DE∥平面ACC1A1.‎ ‎（2）由等体积法，得VE-DBC=VD-EBC ‎∵D是A1B的中点，‎ ‎∴点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半．‎ 如图，作AF⊥BC交BC于点F，‎ 由正三棱柱的性质可知，AF⊥平面BCC1B1．‎ 设底面正三角形的边长a，则三棱锥D-EBC的高，‎ ‎∴，解得a=1‎ ‎∴该正三棱柱的底面边长为1．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查正棱柱的底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21.在如图所示的几何体中，，平面，，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.‎ ‎(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.‎ ‎(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.‎ 详解：(1)在中，.‎ 所以，所以为直角三角形，.‎ 又因平面，所以.‎ 而，所以平面.‎ ‎(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，‎ 则平面平面.‎ 二面角就是平面与平面所成二面角.‎ 因为，所以是的中位线.‎ ‎，这样是等边三角形.‎ 取的中点为，连接，因为平面.‎ 所以就是二面角的平面角.‎ 在，所以.‎ ‎(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.‎ ‎.‎ 设是平面法向量，则 令得.‎ 取平面的法向量为.‎ 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ 则，从而.‎ 点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22.如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2．‎ ‎（1）若，求△AMN的面积；‎ ‎（2）若k1k2=-2，求证：直线MN过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得到直线AM与AN的方程，利用垂径定理分别求得AM与AN的值，再由两直线垂直，代入三角形面积公式求解；‎ ‎（2）由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为．分别与圆的方程联立求得M，N的坐标，写出MN的直线方程，利用直线系方程即可证明线MN过定点．‎ ‎【详解】（1）由题知，直线AM的方程为y=2x+4，直线AN的方程为．‎ ‎∴圆心到直线AM的距离，得，‎ 同理求得，‎ 由题知k1k2=-1，得AN⊥AM，‎ ‎；‎ ‎（2）由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为．‎ 联立方程，得，‎ 得x=-2或，‎ ‎∴，同理，，‎ ‎∴直线MN为．‎ 即，得，‎ ‎∴直线MN恒过定点．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎ ‎