数学文·重庆市第八中学2017届高三上学期第一次适应性考试文数试题+Word版含解析

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全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，所以，故选B．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2.设命题，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎3.已知函数，若，则（ ）‎ A． B． C．-1 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，解得，故选A．‎ 考点：分段函数的应用．‎ ‎4.若曲线在点处的切线与平行，则（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：利用导数研究曲线在某点的切线的斜率．‎ ‎5.在中，角的对边分别是，已知，则，则的面 积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理，又，且，所以，所以，所以三角形的面积为，故选B．‎ 考点：正弦定理；三角形的面积公式．‎ ‎6.执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：程序框图．‎ ‎7.分别为正方形的边和的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，根据向量的线性运算，则，故选B．‎ 考点：向量的运算．‎ ‎8.已知定义在上的函数满足：①当时，函数为增函数，；②函数 的图象关于点对称，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，函数的图象关于点对称，可得函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，又，则，又由当时，函数为增函数，时，函数也为增函数，所以当时，；当时，；所以当时，不等式等价于，解得；当时，不等式等价于，解得，所以不等式的解集为，故选D．‎ 考点：函数的性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性的应用，以及函数值的分布、不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的鞥能力，以及转化与化归的思想方法，属于基础题，本题的解答中，正确得出函数的单调性与奇偶性是解答的关键．‎ ‎9.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：几何体的三视图及体积的计算．‎ ‎10.已知函数，直线是它的一条对称轴，且 是离该轴最近的一个对称中心，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，可得 ‎，所以，即，又因为直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，则，所以，故选B．‎ 考点：三角函数的图象与性质．‎ ‎11.已知双曲线的右焦点为坐标原点，以为圆心，为 半径的圆与该双曲线的交点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：双曲线的几何性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到圆与双曲线的交点，圆的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中，代入，求得点的纵坐标，利用直角三角形的勾股定理得出关于的方程是解答的关键和难点，属于中档试题．‎ ‎12.已知函数，且，则当时，的 取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：函数的性质及函数的取值范围．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及函数的取值范围，其中解答中涉及到函数单调性的应用、函数的奇偶性的应用、函数不等式的转化问题和换元思想等知识的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据函数的单调性和奇偶性，转化不等式为和利用换元思想是解答问题的关键，属于中档试题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.设复数满足，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，得．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎14.函数的图象向右平移个单位后与的图象重合，则 ‎_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎15.已知非零向量的夹角为60°，且，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，即，‎ 则，‎ ‎．‎ 考点：向量的运算．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了平面向量的运算，其中解答中涉及到平面向量的数量积的运算公式、平面向量的模的计算、向量的夹角等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记平面向量的数量积的运算公式和平面向量的模的运算公式是解答的关键，属于基础题．‎ ‎16.已知函数，若当时，取得极小值，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，令，即 ‎，令，即，，所以当时，取得极小值，所以．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性与极值．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数函数的极值与极值点的应用，其中解答中涉及到导函数的运算、函数极值点与极值的概念与应用、三角函数值的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答的能力，本题的解答中利用导数得出函数的单调性，判定处当时，取得极小值是解答的关键．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知分别是内角的对边，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，且，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 由①②知，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1）知：③，‎ ‎，由余弦定理得：④，‎ 由③④得，‎ 即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分. ‎ 考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果 当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理 了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率 作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．‎ ‎（1）求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；‎ ‎（2）求当天的利润不低于750元的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 当时，．‎ 得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（2）设当天的利润不低于750元为事件，‎ 由（2）得“利润不低于元”等价于“需求量不低于16个”，‎ 则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 . ‎ 考点：函数的解析式；概率的计算．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图4，在几何体中，四边形是正方形，正三角形的边长为2，为 线段上一点，为线段的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 由①②得平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（2）解：过作于，‎ 由（1）可知平面，，‎ 由题意，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆过点，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），‎ 使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】‎ 所以椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）由题意知直线经过坐标原点，假设存在符合条件的点，则直线 的斜率存在且大于零， ①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 化简得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，‎ 综上所述，存在符合条件的点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，点分别在的图象上．‎ ‎（1）若函数在处的切线恰好与相切，求的值；‎ ‎（2）若点的横坐标均为，记，当时，函数取得极大值，求的范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用导数求解出函数在处的切线方程，联立方程组，利用判别式，即可求解的值；（2）由，得出函数的解析式，利用导数等于零，‎ ‎，设，再由存在唯一的，使得，在分三种情况分类讨论，即可求解的范围．‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由取得极值，则或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎∴，令，该函数在上单调递增，‎ ‎∴存在唯一的，使得，‎ ‎①若，则 ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 递减 极小 递增 极大 递减 此时时为极小值；‎ ‎②若，则 ‎-‎ ‎-‎ 递减 递减 此时时无极小值；‎ ‎③若，则 ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 递减 极小值 递增 极大值 递减 ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值及不等式的证明，其中解答中涉及到到导数的运算、恒成立问题的求解、不等关系的转化等知识点的综合考查，着重考查了恒成立的分类参数法的应用，转化与化归思想的应用，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，平时注意总结和积累．‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图5，在中，，以为直径的圆交于点，过点作圆的切线交于 点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的大小．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由题意可知，均为圆的切线，所以，连接，利用角度关系，得出，即可证明结论；(2)不妨设，则，利用三角形的射影定理，进而得出，根据三角函数的定义，即可求解．‎ ‎（2）解：不妨设，则，‎ 在中，由射影定理可知，，，‎ 所以，∴，所以，‎ 所以，由（1）可知，，∴．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：与圆有关的比例线段；三角形的射影定理．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线．‎ ‎（1）写出曲线的参数方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为 ‎，若分别为曲线和直线上的一点，求的最近距离．‎ ‎【答案】(1) （为参数）；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）设为圆上一点，在已知变换下上的点，依题意，‎ 由得，即，‎ 故的参数方程为（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）将的极坐标方程化为直角坐标方程：，‎ 设，设点到的距离为，‎ ‎，‎ 其中，取等时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分. ‎ 考点：参数方程与直角方程的互化；极坐标方程的应用．‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式，在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)代入，得出绝对值不等式，去掉绝对值号，即可求解每个不等式的解集，得出不等式的解集；(2)把在上恒成立，转化为在上恒成立，再根据绝对值的意义，即可求解的取值范围．‎ ‎（2）在上恒成立在上恒成立 在上恒成立，‎ ‎∴的范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：绝对值不等式；不等式恒成立．‎ ‎ ‎