专题48 抛物线（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料
1．抛物线x2＝y的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：抛物线x2＝y的焦点坐标是.
答案：D
2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5。所以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案：C
3．已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为( )
A. B. C．1 D．2
解析：因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝.
联立得，x2－3px＋＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝.
答案：B
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2 C．2 D．4
解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，
代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|
＝××2＝2.
答案：C
5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A. B．2 C. D．3
答案：B
6．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2
C.＋1 D.－1
解析：由题意，因为两条曲线交点的连线过点F，
所以两条曲线的一个交点为，
代入双曲线方程得－＝1，
又＝c，
所以－4×＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，
所以e4－6e2＋1＝0，
所以e2＝3＋2＝(1＋)2，
所以e＝＋1，
故选C。
答案：C
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。
解析：由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离即为点P到准线y＝的距离，所以＋2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y。
答案：x2＝－4y
8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________。
答案：[1，＋∞)
9．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。
解析：抛物线焦点F(1,0)，由题意0
5，故e>。
答案：(，＋∞)
10．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1。
(1)求曲线C的方程；
(2)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A，B。直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。
所以y′＝，所以＝，
解得：x0＝a±，
所以A，
B，
化简直线AB方程得：
y－2＝x，所以直线AB恒过定点(0,2)。
11．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)。
(1)求抛物线的标准方程。
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程。
(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程。
解析：(1)设抛物线的标准方程为x2＝2py，把点P(2,1)代入可得4＝2p，所以p＝2，故所求的抛物线的标准方程为x2＝4y。
(2)①当斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合题意；
②当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1，
联立方程可得整理可得x2－4kx＋8k－4＝0。
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以Δ＝16k2－32k＋16＝0，
所以k＝1。
综上可得，直线l的方程为x－y－1＝0或x＝2。
(3)由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为y－1＝k′(x－1)，代入抛物线的标准方程x2＝4y可得x2－4k′x＋4k′－4＝0，所以x1＋x2＝4k′＝2，
所以k′＝，所以AB的方程为y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0。
12．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F(1,0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点。
(1)求抛物线C的方程。
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值。
解析：(1)由焦点坐标为(1,0)，可知＝1，
＝·＝·＝，
综上＝。
13．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
解：由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，
且AN＝.
∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，
∴N(，±2)．
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.
抛物线x2＝y的焦点坐标为，
准线方程为y＝－.
抛物线x2＝－y的焦点坐标为，
准线方程为y＝.
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
设AB的中点为M，
则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又|AB|＝|y1－y2|＝，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±，
所以，直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
15．过点P(a，－2)作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)证明：x1x2＋y1y2为定值；
(2)记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．
直线PB的斜率为k2＝x2.
所以x1x2＝－2，即x1x2＝－8.
又y1y2＝x·x＝(x1x2)2＝4，
所以x1x2＋y1y2＝－4为定值．
(2)直线PA的垂直平分线方程为
y－＝－，
由于y1＝x，代入切线方程可得x－8＝2ax1，
所以直线PA的垂直平分线方程为
y－＝－.①
同理直线PB的垂直平分线方程为
y－＝－②
由①②解得x＝a，y＝1＋，
所以点M，
抛物线C的焦点为F(0，1)，则＝，＝(－a，3)，由于·＝－＝0，
所以⊥，所以以PM为直径的圆恒过点F.
