高考理科数学专题复习练习9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
第九章解析几何
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
专题1
直线与圆的位置关系
■(2015银川高中教学质量检测,直线与圆的位置关系,填空题,理16)直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M,N,||≤|,其中O是坐标原点,则实数m的取值范围是 .
解析:利用等价转化、数形结合等数学思想求解.由||≤|,得||≤|,两边平方化简得≥-8,即||·||cos∠MON=16cos∠MON≥-8,cos∠MON≥-,0<∠MON≤,圆心O到直线y=x+m的距离d=∈[2,4),解得m∈(-4,-2]∪[2,4).
答案:(-4,-2]∪[2,4)
9.5椭圆
专题1
椭圆的定义及标准方程
■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,椭圆的定义及标准方程,选择题,理10)已知焦点在x轴上的椭圆方程为=1,随着a的增大该椭圆的形状( )
A.越接近于圆
B.越扁
C.先接近于圆后越扁
D.先越扁后接近于圆
解析:由题意知椭圆的离心率e2=1-=1-,而随着a的增大而增大,所以e随着a的增大而减小,即随着a的增大该椭圆的形状越接近于圆,故选A.
答案:A
■(2015辽宁大连高三双基测试,椭圆的定义及标准方程,填空题,理15)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆=1上,则的值为 .
解析:依题意,注意到点A,C是椭圆=1的焦点,因此|BA|+|BC|=2×5=10,由正弦定理得.
答案:
■(2015东北三省三校高三二模,椭圆的定义及标准方程,选择题,理8)设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且||=2,则∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
解析:依题意得||=2,||2=||2=||2,即()2-()2=4=0,=0,所以∠F1PF2=.故选D.
答案:D
专题2
椭圆的几何性质
■(2015银川二中高三一模,椭圆的几何性质,选择题,理12)
已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F',双曲线C2:=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P,有以下四个结论:
①>0,且三角形PFF'的面积小于b2;
②当a=b时,∠PF'F-∠PFF'=;
③分别以PF,FF'为直径作圆,这两个圆相内切;
④曲线C1与C2的离心率互为倒数.
其中正确的有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
解析:对于①,依题意,cos∠FPF'>0,故|PF|2+|PF'|2-|FF'|2>0,故(|PF|+|PF'|)2-|FF'|2-2|PF|·|PF'|>0,即|PF|·|PF'|<2b2,
故S△PFF'=|PF|·|PF'|sin∠FPF'
b>0)的离心率e=,且过点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C长轴两端点分别为A,B,点P为椭圆上异于A,B的动点,定直线x=4与直线PA,PB分别交于M,N两点,又E(7,0),过E,M,N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.
解:(1)=1.
(2)设PA,PB的斜率分别为k1,k2,P(x0,y0),则k1k2=-,
则PA:y=k1(x+2),则M(4,6k1),
PB:y=k2(x-2),则N(4,2k2).
又kEM=-=-2k1,kEN=-,kEMkEN=-1.
设圆过定点F(m,0),则=-1,则m=1或m=7(舍),
故过点E,M,N三点的圆是以MN为直径的圆,过定点F(1,0).
■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,椭圆的几何性质,填空题,理15)已知A,B是椭圆=1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0.若|k1|+|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为 .
解析:令A(-a,0),B(a,0),设M(acosθ,bsinθ),N(acosθ,-bsinθ),故k1=,k2=,故|k1|+|k2|=;又|k1|+|k2|的最小值为1,故=1,,故e=.
答案:
专题3
直线与椭圆的位置关系
■(2015东北三省三校高三第一次联考,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,点A(2,)在椭圆上,且AF1与x轴垂直.
(1)求椭圆方程;
(2)过A作直线与椭圆交于另外一点B,求△AOB面积的最大值.
解:(1)由已知得c=2,,∴a=2,b2=4,
故椭圆方程为=1.
(2)当AB斜率不存在时,S△AOB=×2×2=2;
当AB斜率存在时,设其方程为y-=k(x-2),
联立
消去y得(2k2+1)x2+4(-2k)kx+2(-2k)2-8=0,由已知得Δ=16(-2k)2k2-8(2k2+1)[(-2k)2-4]=8(2k+)2>0,即k≠-.
则|AB|=.
又∵点O到直线AB的距离d=,
∴S△ABC=|AB|d=.
∵k≠±,∴2k2+1≠2,
∴2k2+1∈[1,2)∪(2,+∞),
∴2-∈[-2,0)∪(0,2),
∴此时S△AOB∈(0,2].
综上所述,当AB斜率不存在或斜率为零时,△AOB面积取最大值为2.
■(2015银川一中高三二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A,B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(1)证明:a2>;
(2)若=2,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
解:(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,
故y=k(x+1)可化为x=y-1.
将x=y-1代入x2+3y2=a2,
消去x得y2-y+1-a2=0.①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点,
得Δ=-4(1-a2)>0,整理得a2>3,即a2>.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由①得y1+y2=.
因为=2,得y1=-2y2,代入上式得y2=.
于是,△OAB的面积S=|OC|·|y1-y2|=|y2|=.
其中,上式取等号的条件是3k2=1,即k=±.
由y2=,可得y2=±.
将k=,y2=-及k=-,y2=这两组值分别代入①,均可解出a2=5.
所以△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x2+3y2=5.
■(2015银川二中高三一模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)
如图,点P(0,-1)是椭圆C1:=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l1交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程.
解:(1)由题意得∴椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.
则点O到直线l1的距离为d=,
又圆C2:x2+y2=4,
∴|AB|=2=2.
又l1⊥l2,∴直线l2的方程为x+ky+k=0.
联立消去y整理得(4+k2)x2+8kx=0,
故x0=-,代入l2的方程得y0=.
∴|PD|=.
设△ABD的面积为S,则S=|AB||PD|=.
∴S=.
当且仅当,
即k=±时,等号成立.
∴当k=±时,△ABD的面积取得最大值.
此时直线l1的方程为y=±x-1.
9.6双曲线
专题2
双曲线的几何性质
■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,双曲线的几何性质,选择题,理7)已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,) B.(,+∞) C.(,2) D.(2,+∞)
解析:
如图所示,过点F2(c,0)且与y=x平行的直线方程为y=(x-c),与另一条渐近线y=-x联立得x=,y=-,即点M,所以|OM|=,因为点M在以线段F1F2为直径的圆外,所以>c,得>2,所以双曲线离心率e=>2,故选D.
答案:D
■(2015辽宁大连高三双基测试,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知离心率e=的双曲线C:=1(a>b,b>0)右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若△AOF的面积为4,则a的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:依题意得OA⊥AF,焦点F到渐近线的距离AF=b,S△OAF=ab=4,又e=,因此a=2b,2b2=8,b=2,a=4,故选C.
答案:C
■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知双曲线=1(a>0,b>0)与函数y=(x≥0)的图象交于点P.若函数y=在点P处的切线过双曲线左焦点F(-1,0),则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析:利用导数求出点P的坐标,利用双曲线的基本量建立方程组求解.设P(x0,),则函数y=在点P处的切线方程为y-(x-x0),代入点F(-1,0),解得x0=1,所以P(1,1)在双曲线上,则=1,又c2=a2+b2=1,解得a=(舍去),所以离心率e=,故选A.
答案:A
■(2015银川高中教学质量检测,双曲线的几何性质,填空题,理13)已知双曲线=1(a,b>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线的离心率是 .
解析:由题意可得,则离心率e=.
答案:
■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,双曲线的几何性质,选择题,理8)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,则点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为( )
A.4 B. C.5 D.
解析:依题意,a=,b=1,故c=2,故F1(-2,0),F2(2,0),由于点P的横坐标为2,可知PQ⊥x轴,将x=2代入-y2=1中,解得y=±,故|PF2|=|QF2|=,故|PF1|=|QF1|=,故△PF1Q的周长为,故选D.
答案:D
■(2015东北三省三校高三二模,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆被直线=1截得的弦长为a,则双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
解析:依题意,原点到直线=1的距离等于,于是有=c2,即=c2,2c4-5a2c2+2a4=0,2e4-5e2+2=0,(e2-2)(2e2-1)=0(e>1),解得e=.所以双曲线的离心率是,故选D.
答案:D
■(2015东北三省三校高三第一次联考,双曲线的几何性质,选择题,理8)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,焦点F到一条渐近线的距离为d,若|FB|≥d,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,] B.[,+∞) C.(1,3] D.[,+∞)
解析:不妨设F(c,0),B(0,b),则|FB|=.设双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,则点F(c,0)到渐近线的距离d==b,依题意得b,故2b2+a2≥3b2,则≤1,故e=,又e>1,所以e∈(1,],故选A.
答案:A
■(2015银川一中高三二模,双曲线的几何性质,选择题,理12)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:依题意得P,A,B;由=λ+μ所以(λ+μ)2-(λ-μ)2=1-,4λμ=1-,c=2b,a=b,所以双曲线的离心率是e=,故选A.
答案:A
9.7抛物线
专题1
抛物线的定义与标准方程
■(2015东北三省三校高三第一次联考,抛物线的定义与标准方程,选择题,理3)点M(1,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,则a的值为( )
A. B.- C.或- D.-
解析:抛物线y=ax2的准线为y=-,依题意得=2,解得a=或a=-,故选C.
答案:C
■(2015江西八所重点中学高三联考,抛物线的定义与标准方程,选择题,理12)在平面直角坐标系中,点P是直线l:x=-上一动点,定点F,点Q为PF的中点,动点M满足=0,=λ(λ∈R),过点M作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别为S,T,则的最小值是( )
A. B. C. D.-
解析:结合图形求解,由题意可得点M到直线l:x=-的距离等于到点F的距离,则点M的轨迹是以点F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,方程为y2=2x.
设M(x,y),则点M到圆(x-3)2+y2=2的圆心C(3,0)的距离MC2=(x-3)2+y2=x2-4x+9≥5,当x=2时取等号,=||·||cos∠SMT=||2cos2∠CMS=||2(1-2sin2∠CMS)=(||2-2)=(||2-2)=||2+-6≥5+-6=,当且仅当|MC|2=5时取等号,故选A.
答案:A
■(2015银川二中高三一模,抛物线的定义与标准方程,选择题,理10)设F是抛物线C:y2=12x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,若=0,则|FA|+|FB|+|FC|=( )
A.3 B.9 C.12 D.18
解析:依题意,F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),=(x3-3,y3),依题意得x1+x2+x3=9,则由抛物线定义可知|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3=18,故选D.
答案:D
■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,抛物线的定义与标准方程,选择题,理8)已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆=1(a>b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为( )
A.-1 B.-1 C. D.
解析:依题意,设椭圆的左焦点为F',因为右焦点F,故F'.因为A是两曲线的公共点,且AF⊥x轴,不妨设点A在第一象限,故A,由椭圆定义可知2a=|AF|+|AF'|==(+1)p.又2c=|FF'|=p,故椭圆的离心率e=-1,故选B.
答案:B
专题2
抛物线的几何性质
■(2015银川高中教学质量检测,抛物线的几何性质,选择题,理10)点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a=( )
A.或- B.-
C. D.4或-12
解析:将抛物线方程化为标准方程为x2=y,准线方程为y=-,则=2,解得a=或-,故选A.
答案:A
■(2015银川一中高三二模,抛物线的几何性质,填空题,理15)在平面直角坐标系xOy中,点A,B在抛物线y2=4x上,满足=-4,F是抛物线的焦点,则S△OFA·S△OFB= .
解析:依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y1y2=-8.S△OFA·S△OFB=|y1y2|=2.
答案:2
专题3
直线与抛物线的位置关系
■(2015辽宁大连高三双基测试,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2=2px于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.
(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;
(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,=2,求抛物线C的方程.
解:(1)设直线l1的方程为x=my+2,点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组得y2-2pmy-4p=0,
y1+y2=2pm,y1·y2=-4p.
k1+k2==0.
(2)设点P(x0,y0),直线PA:y-y1=(x-x1),
当x=-2时,yM=,
同理,yN=.
因为=2,4+yNyM=2,=-2,
=-2,
=-2,
解得p=,∴抛物线C的方程为y2=x.
■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45°时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).
(1)求p的值;
(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕F旋转时,求的最大值.
解:(1)F,当l的倾斜角为45°时,l的方程为y=x+,
设A(x1,y1),B(x2,y2),得x2-2px-p2=0.
x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB的中点为D.
AB的中垂线为y-p=-(x-p).
令x=0,得y=p=5,∴p=2.
(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.
|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB的中点为D(2k,2k2+1).
令∠MDN=2a,S=2a·|AB|=a·|AB|,
∴=a.
D到x轴的距离|DE|=2k2+1,
cosα==1-.
当k2=0时,cosα取最小值,α的最大值为,
故的最大值为.
■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,直线与抛物线的位置关系,选择题,理8)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若=0,则m=( )
A. B. C. D.0
解析:求出点A,B的坐标,利用数量积的坐标运算建立方程求解,联立直线y=2(x-1)和抛物线C:y2=4x,解得A(2,2),B.所以=(3,2-m)·+(2-m)(--m)=0,化简得m2-m+=0.=0,m=,故选B.
答案:B
■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,直线与抛物线的位置关系,选择题,理11)抛物线y2=4x,直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点(A点在第一象限),且=4,则三角形AOB(O为坐标原点)的面积为( )
A. B. C. D.
解析:依题意,设直线AB:x=my+1,点A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,则由消去x得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4①.由=4得y1-y2=-4y2,y1=-3y2>0②,联立①②解得y2=-,所以y1-y2=-4y2=,
因此△AOB的面积等于|OF||y1-y2|=,故选C.
答案:C
■(2015东北三省三校高三二模,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,P是C上一点,斜率为-1的直线l交C于不同两点A,B(l不过P点),且△PAB重心的纵坐标为-.
(1)记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;
(2)求的最大值.
解:(1)设直线l的方程为y=-x+b,
将其代入C:y2=4x得x2-2(b+2)x+b2=0,
由题可知Δ=16(b+1)>0,令A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2(b+2),x1x2=b2.
y1+y2=-(x1+x2)+2b=-2(b+2)+2b=-4.
因为△PAB重心的纵坐标为-,
所以y1+y2+yP=-2,所以yP=2,xP=1.k1+k2=,(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1)=[-x1+(b-2)](x2-1)+[-x2+(b-2)](x1-1)=-2x1x2+(b-1)(x1+x2)-2(b-2)=-2b2+2(b-1)(b+2)-2(b-2)=0,
所以k1+k2=0.
(2),
由Δ=16(b+1)>0得b>-1,又l不过P点,则b≠3.
令t=b+3,则t>2且t≠6,
则
=.
当且仅当t=,即t=2,b=2-3时,取得最大值.
■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,直线与抛物线的位置关系,解答题,理21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|,当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.
(1)求C的方程.
(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,
①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;
②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意知F,
设D(t,0)(t>0),则FD的中点为,
因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+,
解得t=3+p或t=-3(舍去).
由=3,解得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)①证明:由(1)知F(1,0),
设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),
因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,
由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0),
故直线AB的斜率为kAB=-,
因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,
代入抛物线方程得y2+y-=0,
由题意可知Δ==0,得b=-.
设E(xE,yE),则yE=-,xE=.
当≠4时,kAE==-.
所以直线AE的方程为y-y0=(x-x0),
由=4x0,整理可得y=(x-1),
所以直线AE恒过点F(1,0).
当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),
所以直线AE过定点F(1,0).
(2)由(1)知,直线AE过焦点F(1,0),
所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2,
设直线AE的方程为x=my+1,
因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,
设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),
由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,
代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0,所以y0+y1=-,
y1=-y0-,x1=+x0+4,
所以点B到直线AE的距离为
d=
==4,
则△ABE的面积S=×4≥16,
当且仅当x0=即x0=1时等号成立.
所以△ABE的面积的最小值为16.