云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（理）试题

云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（理）试题

玉溪一中2018—2019学年上学期高二第二次月考 理科数学 ‎ 命题人：王加平 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知|，|，则 A．|或 B．| C．| D．|‎ ‎2.设等差数列{}的前项和为，若，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知,是两条不同直线，,是两个不同平面，则下列命题正确的是 图1‎ A.若,垂直于同一平面，则与平行 B.若,平行于同一平面，则与平行 C.若,不平行，则在内不存在与平行的直线 D.若,不平行，则与不可能垂直于同一平面 ‎5.图1是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知函数，若，，则 A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎7.点在圆：外，则直线与圆的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ‎8.设变量,满足约束条件则的最大值为 图2‎ A. B. C. D.‎ ‎9.阅读图2的程序框图,运行相应的程序,输出的值为 A． B． C． D．‎ ‎10.在中，内角，，所对的边分别是，，，‎ 若，，则的面积是 A. B. C. D.‎ ‎11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；‎ 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，⊥平面, ，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为 ‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线 相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于 A． B． C. D．‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在区间[]上随机取一个实数，则事件“”发生的概率为　 ．‎ ‎14.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝　 ．‎ ‎15.已知,是双曲线(,)的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是　 ．‎ ‎16.设为数列的前项和, 已知, 对任意N, 都有，则 N)的最小值为　 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分)已知等差数列的前项和为，且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分) 函数,.‎ ‎(1)求的最小正周期； ‎ ‎(2)求在闭区间上的最大值和最小值.‎ ‎19.(本小题满分12分) 如图3，直三棱柱中，，，.‎ 图3‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ ‎(1)证明：； （2）求二面角的正切值. ‎ ‎20.(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入 ‎(单位：千元)的数据如下表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程；‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，.‎ ‎21.(本小题满分12分) 如果函数在其定义域内存在，使得 成立，则称函数为“可分拆函数”．‎ ‎（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；‎ ‎（2）设函数为“可分拆函数”，求实数的取值范围．‎ ‎22.(本小题满分12分)已知点，椭圆：()的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)设过点的动直线与相交于，两点.当的面积最大时，求的 方程.‎ 玉溪一中2018—2019学年上学期高二第二次月考 理科数学 参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B D A B B C D C A A 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解： (1)设等差数列的首项为，公差为，‎ 由题意得 解得: ,. ‎ ‎. ………………………………5分 ‎(2) ，‎ ‎ ‎ ‎…………………………………10分 ‎18.解：(1)由已知，有＝cos x·－cos2x＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin 所以，的最小正周期. ……………………6分 ‎(2)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数.‎ ‎＝－ ，＝－，＝ 所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为－ . ……12分 ‎19.解：(1)因为三棱柱为直三棱柱,所以,‎ 在中,,,由正弦定理得.‎ 所以,即，所以,‎ 又因为,所以. …………………6分 ‎（2）如图所示，作交于，连接，‎ 因为,由三垂线定理可得,‎ 所以为所求角，在中，，‎ B C A1‎ B1‎ C1‎ D A 所以 . …………………12分 ‎20.解：(1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，‎ ＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，‎ ‎ ‎ ‎(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+‎ ‎3×1.6=14,‎ ‎ .‎ 所求回归方程为＝0.5t＋2.3. …………………………6分 ‎(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. ………………9分 将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. …………12分 ‎21.解：（1）假设是“可分拆函数”，则定义域内存在，‎ 使得，即，此方程的判别式，‎ 方程无实数解，所以不是“可分拆函数”． ……………5分 ‎（2）因为函数为“可分拆函数”，‎ 所以定义域内存在，使得，‎ 即且， ………………7分 所以，令，则，‎ 所以，‎ 由得，即的取值范围是． ………………12分 ‎22.解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，‎ 所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1. …………4分 ‎(2)当l⊥x轴时不合题意，‎ 故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).‎ 将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，‎ 即k2>时，,. …………6分 从而|PQ|＝＝ . ‎ 又点O到直线PQ的距离d＝ .‎ 所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝ . … …………9分 设，则， ‎ 当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以，当的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. ………………12分