2019届二轮复习二项分布与正态分布课件（78张）（全国通用）

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§12.4 　二项分布与 正态分布 第十二章 　 概率、随机变量及其 分布 ZUIXINKAOGANG 最新考纲 1. 在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念 . 2. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题 . 3. 通过实际问题，借助直观 ( 如实际问题的直方图 ) 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE (1) 对于任何两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率 叫 做 ________ ， 用 符号 ______ 来 表示，其公式为 P ( B | A ) ＝ ( P ( A )>0). 在古典概型中，若用 n ( A ) 表示事件 A 中基本事件的个数，则 P ( B | A ) ＝ . (2) 条件概率具有的性质 ①____________ ； ② 如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P ( B ∪ C | A ) ＝ _____________ . 1. 条件概率及其性质 知识梳理 ZHISHISHULI 条件概率 P ( B | A ) 0 ≤ P ( B | A ) ≤ 1 P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) 2. 相互独立 事件 (1) 对于事件 A ， B ，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称 事件 _____ _______________. (2) 若 A 与 B 相互独立，则 P ( B | A ) ＝ ____ ， P ( AB ) ＝ P ( B | A ) P ( A ) ＝ ________ . (3) 若 A 与 B 相互独立， 则 ______ ，与 _______ ， ______ 也 都相互独立 . (4) 若 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) ， 则 ______________ . P ( B ) P ( A ) P ( B ) A ， B 是相互独立事件 A 与 B 相互独立 3. 独立重复试验与 二项分布 (1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 两 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的 . (2) 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ， 则 P ( X ＝ k ) ＝ __________________________ ， 此时称随机变量 X 服从 ________ ， 记 为 __________ ， 并称 p 为成功概率 . 二项分布 X ～ B ( n ， p ) 4. 两点分布与二项分布的均值、方差 (1) 若随机变量 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ __ ， D ( X ) ＝ _______ . (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ ___ ， D ( X ) ＝ ________ . p p (1 － p ) np np (1 － p ) 5. 正态分布 (1) 正态曲线：函数 φ μ ， σ ( x ) ＝ ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，其中实数 μ 和 σ 为参数 ( σ >0 ， μ ∈ R ). 我们称函数 φ μ ， σ ( x ) 的图象 为 __________________ ， 简称正态曲线 . (2) 正态曲线的特点 ① 曲线位于 x 轴 _____ ， 与 x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，它关于 直线 _____ 对称； ③ 曲线 在 _____ 处 达到 峰值 ； ④ 曲线与 x 轴之间的面积 为 __ ； 正态分布密度曲线 上方 x ＝ μ x ＝ μ 1 ⑤ 当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线 随着 __ 的 变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； ⑥ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ_____ ， 曲线越 “ 瘦高 ” ，表示总体的分布越集中； σ_____ ， 曲线越 “ 矮胖 ” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示 . μ 越小 越大 (3) 正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a ， b ( a < b ) ，随机变量 X 满足 P ( a < X ≤ b ) ＝ ， 则称随机变量 X 服从正态分布，记 作 ___________ . 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ① P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ ______ ； ② P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ ______ ； ③ P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ _______ . X ～ N ( μ ， σ 2 ) 0.682 6 0.954 4 0.997 4 1. 条件概率中 P ( B | A ) 与 P ( A | B ) 是一回事吗？ 提示　 不一样， P ( B | A ) 是在 A 发生的条件下 B 发生的概率， P ( A | B ) 是在 B 发生的条件下 A 发生的概率 . 2. “ 事件相互独立 ” 与 “ 事件互斥 ” 有何不同？ 提示　 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥 . 【 概念方法微思考 】 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 条件概率一定不等于它的非条件概率 .( 　　 ) (2) 对于任意两个事件，公式 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 都成立 .( 　　 ) (3) 二项分布是一个概率分布，其公式相当于 ( a ＋ b ) n 二项展开式的通项公式，其中 a ＝ p ， b ＝ 1 － p . ( 　　 ) (4) P ( B | A ) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率， P ( AB ) 表示事件 A ， B 同时发生的概率 .( 　　 ) × × 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 7 × √ ( 5) 正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的均值， σ 是正态分布的标准差 .( 　　 ) (6) 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布 .( 　　 ) 1 2 3 4 5 6 √ √ 7 题组二　教材改编 1 2 3 4 5 6 7 2 . 天气预报 ，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2 ，乙地的降雨概率是 0.3. 假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为 A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56 √ 解析　 设甲地降雨为事件 A ，乙地降雨为事件 B ， ＝ 0.2 × 0.7 ＋ 0.8 × 0.3 ＝ 0.38. 1 2 3 4 5 6 7 3 . 已知 盒中装有 3 个红球、 2 个白球、 5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 解析　 设 A ＝ { 甲第一次拿到白球 } ， B ＝ { 甲第二次拿到红球 } ， √ 4 . 已知 随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) ，且 P ( X >2 c － 1) ＝ P ( X < c ＋ 3) ，则 c ＝ . 解析　 ∵ X ～ N (3,1) ， ∴ 正态曲线关于 x ＝ 3 对称， 且 P ( X >2 c － 1) ＝ P ( X < c ＋ 3) ， 1 2 3 4 5 6 7 题组三　易错自纠 5. 两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别 为 和 ， 两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 1 2 3 4 5 6 7 √ 1 2 3 4 5 6 7 6. 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为 “ 取到的 2 个数之和为偶数 ” ，事件 B 为 “ 取到的 2 个数均为偶数 ” ，则 P ( B | A ) 等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 7. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ ξ 没有零点的概率 是 ， 则 μ 等于 A.1 B.2 C.4 D . 不能 确定 解析　 当函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ ξ 没有零点时 ， Δ ＝ 16 － 4 ξ <0 ，即 ξ >4 ， 根据 正态曲线的对称性， √ 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　条件概率 例 1 　 (1) 在 100 件产品中有 95 件合格品， 5 件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到 不合格品 的 概 率 为 . 师生共研 解析　 方法一　 ( 应用条件概率公式求解 ) 设事件 A 为 “ 第一次取到不合格品 ” ，事件 B 为 “ 第二次取到不合格品 ” ， 则 所求的概率为 P ( B | A ) ， 方法二 　 ( 缩小样本空间求解 ) 第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有 99 件产品，其中有 4 件不合格品， (2) 一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点 ( 每次都能投中 ). 设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A ，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为 B ，求 P ( AB ) ， P ( A | B ). 解　 如图， n ( Ω ) ＝ 9 ， n ( A ) ＝ 3 ， n ( B ) ＝ 4 ， (1) 利用定义，分别求 P ( A ) 和 P ( AB ) ，得 P ( B | A ) ＝ ， 这是通用的求条件概率的方法 . (2) 借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n ( A ) ，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n ( AB ) ，得 P ( B | A ) ＝ . 思维升华 跟踪训练 1 　 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第 1 次取到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次取到的是卡口灯泡的概率为 √ 解析　 方法一　设事件 A 为 “ 第 1 次取到的是螺口灯泡 ” ，事件 B 为 “ 第 2 次取到的是卡口灯泡 ” ， 方法二 　 第 1 次取到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡， 题型二　独立重复试验与 二项分布 命题点 1 　独立事件的概率 多维探究 例 2 　 某社区举办《 “ 环保我参与 ” 有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题 . 已知甲家庭回答正确这道题的概率 是 ， 甲、丙两个家庭都回答错误的概率 是 ， 乙、丙两个家庭都回答正确的概率 是 . 若各家庭回答是否正确互不影响 . (1) 求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； 解　 记 “ 甲回答正确这道题 ”“ 乙回答正确这道题 ”“ 丙回答正确这道题 ” 分别为事件 A ， B ， C ，则 P ( A ) ＝ ， ( 2) 求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率 . 解　 有 0 个家庭回答正确的概率为 所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为 命题点 2 　独立重复试验 例 3 　 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分 ( 即获得－ 200 分 ). 设每次击鼓出现音乐的概率 为 ， 且各次击鼓出现音乐相互独立 . (1) 设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列； 解　 X 可能的取值为 10,20,100 ，－ 200 . 所以 X 的分布列为 X 10 20 100 － 200 P (2) 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解　 设 “ 第 i 盘游戏没有出现音乐 ” 为事件 A i ( i ＝ 1,2,3) ， 所以 “ 三盘游戏中至少有一盘出现音乐 ” 的概率为 命题点 3 　二项分布 例 4 　 某气象站天气预报的准确率为 80% ，计算 ( 结果保留到小数点后第 2 位 ) ： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； 解　 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数， (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率 . (1) 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ① 首先判断几个事件的发生是否相互独立 . ② 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ( ⅰ ) 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ( ⅱ ) 正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算 . (2) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 ① 在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率 . ② 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率 . 思维升华 跟踪训练 2 　 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人 . (1) 在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率； 解　 平均车速 不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的方法总数 为 ， 记 “ 这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员 ” 为事件 A ， (2) 以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X ，求 X 的分布列 . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 题型三　正态分布 师生共研 例 5 　 (2017· 全国 Ⅰ ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸 ( 单位： cm). 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ). (1) 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的均值； 解　 抽取 的一个零件的尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 之内的概率为 0.997 4 ， 从而 零件的尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 之外的概率为 0.002 6 ，故 X ～ B (16,0.002 6). 因此 P ( X ≥ 1) ＝ 1 － P ( X ＝ 0) ＝ 1 － 0.997 4 16 ≈ 0.040 8. E ( X ) ＝ 16 × 0.002 6 ＝ 0.041 6. (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 . ( ⅰ ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性 ； 解　 如果 生产状态正常，一个零件尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 之外的概率只有 0.002 6 ，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 之外的零件的概率只有 0.040 8 ，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 . ( ⅱ ) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 　 10.12 　 9.96 　 9.96 　 10.01 　 9.92 　 9.98 　 10.04 10.26 　 9.91 　 10.13 　 10.02 　 9.22 　 10.04 　 10.05 　 9.95 其中 x i 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i ＝ 1,2 ， … ， 16. 因此 μ 的估计值为 10.02. 解决正态分布问题有三个关键点： (1) 对称轴 x ＝ μ ； (2) 标准差 σ ； (3) 分布区间 . 利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ ， σ ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3 σ 特殊区间，从而求出所求概率 . 注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x ＝ 0. 思维升华 跟踪训练 3 　 “ 过大年，吃水饺 ” 是我国不少地方过春节的一大习俗 .2019 年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下： (1) 求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本 平均数 ( 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ) ； 解　 所 抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的 平均数 ＝ 5 × 0.1 ＋ 15 × 0.2 ＋ 25 × 0.3 ＋ 35 × 0.25 ＋ 45 × 0.15 ＝ 26.5. (2) ① 由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，利用该正态分布，求 Z 落在 (14.55,38.45] 内的概率； 解　 ∵ Z 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，且 μ ＝ 26.5 ， σ ≈ 11.95 ， ∴ P (14.55< Z ≤ 38.45) ＝ P (26.5 － 11.95< Z ≤ 26.5 ＋ 11.95) ＝ 0.682 6 ， ∴ Z 落在 (14.55,38.45] 内的概率是 0.682 6. ② 将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于 (10,30) 内的包数为 X ，求 X 的分布列和均值 . 若 ξ ～ N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ < ξ ≤ μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， P ( μ － 2 σ < ξ ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4. ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 3 课时作业 PART THREE 1.(2018· 汕头模拟 ) 甲、乙两人参加 “ 社会主义价值观 ” 知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别 为 和 ， 甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 √ 基础 保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2018· 厦门模拟 ) 袋中装有 2 个红球， 3 个黄球，有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 球，则 3 次中恰有 2 次抽到黄球的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2018· 唐山模拟 ) 甲、乙等 4 人参加 4 × 100 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是 √ 甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类： 4.(2018· 淄博模拟 ) 设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X ， 且 X ～ N ( 800,50 2 ) ，则 一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率 为 ( 参考数据：若 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ，有 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4 ， P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ 0.997 4) A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.954 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 ∵ X ～ N (800,50 2 ) ， ∴ P (700< X ≤ 900) ＝ 0.954 4 ， ∴ P ( X ≤ 900) ＝ 1 － 0.022 8 ＝ 0.977 2 ，故选 A. 5. 某班有 50 名学生，一次考试的数学成绩 ξ 服从正态分布 N (100,10 2 ) ，已知 P (90 ≤ ξ ≤ 100) ＝ 0.3 ，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 ∴ 该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.2 × 50 ＝ 10. 解析　 设 “ 甲命中目标 ” 为事件 A ， “ 乙命中目标 ” 为事件 B ， “ 丙命中目标 ” 为事件 C ， 则 击中目标表示事件 A ， B ， C 中至少有一个发生 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 记事件 “ 甲取到 2 个黑球 ” 为 A ， “ 乙取到 2 个黑球 ” 为 B ， 7. 一盒中放有大小相同的 10 个小球，其中 8 个黑球、 2 个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取 2 个小球，已知甲取到了 2 个黑球，则乙也 取 到 2 个黑球的概率是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作 . 设三个电子元件的使用寿命 ( 单位：小时 ) 均服从正态分布 N (1 000,50 2 ) ， 且各个元件能否正常工作相互独立，那么该 部 件 的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率 都是 . 质点 P 移动五次后 位 于 点 (2,3) 的概率是 . 解析　 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点 (2,3) ， 所以 质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 若随机变量 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ，且 P ( X >5) ＝ P ( X < － 1) ＝ 0.2 ，则 P (2< X <5) ＝ . 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2018· 唐山五校联考 ) 某篮球队在某赛季已结束的 8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示 . ( 1) 根据这 8 场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值 μ 和标准差 σ ； 所以估计甲每场比赛中得分的均值 μ 为 15 ，标准差 σ 为 5.68. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 假设甲在每场比赛的得分服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在 82 场比赛中得分在 26 分以上的平均场数 ( 结果保留整数 ). 正态总体 N ( μ ， σ 2 ) 在区间 ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ) 内取值的概率约为 0.954. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 设甲每场比赛中的得分为随机变量 X ， 由 (1) 得甲在每场比赛中得分在 26 分以上的概率 设在 82 场比赛中，甲得分在 26 分以上的次数为 Y ， 则 Y ～ B (82,0.023). Y 的均值 E ( Y ) ＝ 82 × 0.023 ≈ 2. 由此估计甲在 82 场比赛中得分在 26 分以上的平均场数为 2. 12 . 一 个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的质量 ( 单位：克 ) ，质量分组区间为 [5,15) ， [15,25) ， [25,35) ， [35,45] ，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示 . ( 1) 求 a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 由 题意，得 (0.02 ＋ 0.032 ＋ a ＋ 0.018) × 10 ＝ 1 ，解得 a ＝ 0.03 . 由 频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为 20 克 ， 而 50 个样本中小球质量的平均数为 故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为 24.6 克 . (2) 从盒子中随机抽取 3 个小球，其中质量在 [5,15) 内的小球个数为 X ，求 X 的分布列和均值 .( 以直方图中的频率作为概率 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 的可能取值为 0,1,2,3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ X 的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 0 1 2 3 P 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(2018· 珠海模拟 ) 夏秋雨季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到 15 厘米左右，又携带它们旅居外海 . 一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为 0.15 ，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为 0.05 ，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为 √ 解析　 设事件 A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件 B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖 ， 由 题意可知 P ( A ) ＝ 0.15 ， P ( AB ) ＝ 0.05 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2018· 茂名模拟 ) 设 X ～ N (1,1) ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000 个点，求落入阴影部分的点的个数的估计值 . ( 注：若 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ 68.26% ， P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ 95.44%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ X ～ N (1,1) ， ∴ μ ＝ 1 ， σ ＝ 1. ∵ P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ 68.26% ， ∴ P (0< X ≤ 2) ＝ 68.26% ， 则 P (1< X ≤ 2) ＝ 34.13% ， ∴ 阴影部分的面积为 1 － 0.341 3 ＝ 0.658 7 ， ∴ 向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000 个点 ， 则 落入阴影部分的点的个数的估计值是 10 000 × 0.658 7 ＝ 6 587 ，故选 D. 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 已知随机变量 X ～ B (2 ， p ) ， Y ～ N (2 ， σ 2 ) ，若 P ( X ≥ 1) ＝ 0.64 ， P (0< Y <2) ＝ p ，求 P ( Y >4) 的值 . 解得 p ＝ 0.4 或 p ＝ 1.6( 舍去 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 某高校设计了一个实验学科的考核方案：考生从 8 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作 . 规定：至少正确完成其中 2 题的便可提交通过 . 已知 8 道备选题中考生甲有 6 道题能正确完成， 2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率 都是 ， 且每题正确完成与否互不影响 . (1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 设 考生甲、乙正确完成实验操作的题数为 ξ ， η ， 则 ξ 的所有可能取值为 1,2,3 ； η 的所有可能取值为 0,1,2,3. 所以考生甲正确完成题数的分布列为 ξ 1 2 3 P