天津市武清区杨村第三中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题

天津市武清区杨村第三中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题

‎2019届高三第二次月考数学理 ‎ 一、选择题（共8小题；共40分）‎ ‎1. 已知全集 ，集合 ，，图中阴影部分所表示的集合为 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎2. 设变量 ， 满足约束条件 则 的最小值是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 若按右图算法流程图运行后，输出的结果是 ，则输入的 的值可以是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 设 ，则“”是“”的 ‎ ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎5. 已知，，，是奇函数，直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）‎ A．在上单调递减 B. 在上单调递减 ‎ C. 在上单调递增 D．在上单调递增 ‎ ‎ ‎6. 已知 为定义在 上的函数，若对任意两个不相等的正数 ，，都有 ，记 ，，，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，， 为坐标原点， 是双曲线在第一象限上的点，，直线 交双曲线 于另一点 ，若 ，且 ，则双曲线 的离心率为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 8. 已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ，，，，且 ，则 的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（共6小题；共30分）‎ ‎9. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位， 为复数 的共轭复数，则复数 的模为  ．‎ ‎ ‎ 9. 一个四棱锥的底面是平行四边形，三视图如图，则体积为  ‎ ‎ ‎ ‎11. 曲线 与直线 ， 所围成的区域的面积为   .‎ ‎ ‎ ‎12. 设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， 若对任意自然数 都有 ，则 的值为  ．‎ ‎13. 如图，在 中，若 ，，，则 的值为  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 已知函数 ，其中 ．若存在实数 ，使得关于 的方程 有三个不同的根，则 的取值范围是  ．‎ 三、解答题（共6小题；共80分）‎ ‎15. 已知函数 的周期为 ，且过点 ．‎ ‎（1）求函数 的表达式；‎ ‎（2）求函数 在区间 上的值域．‎ ‎ ‎ ‎16. 如图：四棱锥 底面为一直角梯形，，，，， 是 中点．‎ ‎ （1）求证：平面 ；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎ ‎ ‎17. 设数列 满足 ，．‎ ‎（1）求数列 的通项公式 ；‎ ‎（2）若 ，求数列 的前 项和 ．‎ ‎ 18. 如图，正方形 的中心为 ，四边形 为矩形，，点 为 的中点，．‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎（2）求二面角 的正弦值；‎ ‎（3）设 为线段 上的点，且 ，求直线 和平面 所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ 19. 设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．‎ 已知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 ．‎ ‎（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（2）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于 ），直线 与 轴相交于点 ．若 的面积为 ，求直线 的方程．‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间[1,2]上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设在(0,2)内恰有两个极值点，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，方程在区间[1,e]有解，求实数m的取值范围.‎ ‎ 答案 第一部分 ‎1. A 2. B ‎ ‎3. B 【解析】，；，；，；，；，此时需终止循环．故 ．‎ ‎4. A ‎ ‎5. A 【解析】由 ，可知 ，因为 且 ，可得 ， ，即 ，所以 ， ； ，‎ 代入 .‎ 所以 或 ， ，‎ 所以 ．‎ ‎6. C 【解析】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，，都有 ，‎ 所以函数 是 上的减函数，‎ 因为 ，，，‎ 所以 ，‎ 所以 ．‎ ‎7. B 【解析】由题意，，‎ 由双曲线的定义可得，，‎ 可得 ，，‎ 由四边形 为平行四边形，‎ 又 ，可得 ，‎ 在三角形 中，由余弦定理可得 ，‎ 即有 ，即 ，‎ 可得 ，‎ 即 ．‎ ‎8. D 【解析】提示：由已知可得 ，，， 为关于 的函数 在 上为增函数，‎ 第二部分 ‎9. ‎ ‎10. 该四棱锥的高为 ，底面边长为 ，高为 的平行四边形，所以四棱锥的体积为 ．‎ ‎11. ‎ ‎12. 【解析】由等差数列的性质和求和公式可得：‎ ‎ ‎ ‎13. 【解析】方法一：由余弦定理得，，‎ 所以 ，所以 ，‎ 所以 ．‎ 方法二：如图，以 所在直线为 轴、线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系 ，‎ 由方法一知 ，，，，‎ 所以 ，，‎ 所以 ．‎ ‎14. 【解析】由题意方程 有三个不同的根，即直线 与函数 的图象有三个不同的交点．作出函数 的图象，如图所示．‎ 若存在实数 ，使方程 有三个不同的根，则 ，即 ．‎ 又因为 ，‎ 所以 ，即 的取值范围为 ．‎ 第三部分 ‎15. （1） ‎ 因为 ，所以 ，‎ 又 过点 ，所以 ，‎ 解得 ，‎ 因为 ，，所以函数 的表达式为 ．‎ ‎      （2） 因为 ，所以 ，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 因此函数 在区间 上的值域为 ．‎ ‎16. （1） 因为 ，‎ 所以 ，‎ 又因为 ，，，，‎ 所以 ，‎ 因为 ，‎ 所以平面 ．‎ ‎      （2） 取 的中点为 ，连接 ，‎ 因为 为 的中点，‎ 所以 为 的中位线，‎ 所以 ，，‎ 又因为 ，，‎ 所以 ，并且 ，‎ 所以四边形 为平行四边形，‎ 所以 ，‎ 因为 ， ‎ 所以 ．‎ ‎17. （1） 由已知，当 时，‎ ‎ ‎ 因为 ，即关系式也成立，‎ 所以数列 的通项公式 ．‎ ‎      （2） 由 ，‎ 得 ，‎ 而 ，‎ 两式相减，可得 ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 所以 ．‎ ‎18. （1） 取 中点，连接 ，，‎ 因为矩形 ，‎ 所以 且 ，‎ 因为 ， 是中点，‎ 所以 是 的中位线，‎ 所以 且 ．‎ 因为 是正方形 中心，‎ 所以 ，‎ 所以 且 ，‎ 所以四边形 是平行四边形，‎ 所以 ．‎ 因为 ，，‎ 所以 ．‎ ‎      （2） 如图所示建立空间直角坐标系 ，‎ ‎ ，，，，‎ 设面 的法向量 ，‎ ‎ ‎ 得： ‎ 所以 ．‎ 因为 面 ，‎ 所以面 的法向量 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 二面角 的正弦值为 ．‎ ‎      （3） 因为 ，‎ 所以 ，‎ 因为 ，‎ 所以 ．‎ 设直线 和平面 所成角为 ，‎ ‎ ．‎ 所以直线 和平面 所成角的正弦值为 ．‎ ‎19. （1） 设 的坐标为 ，‎ 依题意可得 ‎ 解得 ，，，于是 ．‎ 所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ．‎ ‎      （2） 直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，‎ 联立方程组 解得点 ，故 ．‎ 联立方程组 消去 ，整理得 ，解得 ，或 ．‎ 所以 ，‎ 所以直线 的方程为 ，‎ 令 ，解得 ，故 ，‎ 所以 ，‎ 又因为 的面积为 ，‎ 所以 ，‎ 整理得 ，解得 ，‎ 所以 ，‎ 所以直线 的方程为 ，或 ．‎ ‎20. （Ⅰ），由，可知在内单调递增， …………2分 ‎，故单调递增. …………3分 在上的最大值为.…………4分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ 由题意知：在有两个变号零点，‎ 即在有两个变号零点 ..…………6分 令，，‎ 令，且时，，单调递增；‎ 时，，单调递减，..…………10分 又， ..…………8分 ‎（Ⅲ）‎ ‎（ⅰ） 时, 不成立；‎ ‎（ⅱ） 时, ，‎ 设 ，‎ ‎，在在上为单调递减；‎ 当时，时 ‎…………12分