2021高考数学大一轮复习考点规范练65坐标系与参数方程理新人教A版

2021高考数学大一轮复习考点规范练65坐标系与参数方程理新人教A版

考点规范练65　坐标系与参数方程 ‎　考点规范练A册第46页　 ‎ 基础巩固 ‎1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,‎y=4sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosα,‎y=2+tsinα(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的普通方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ 解:(1)曲线C的普通方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎16‎=1.‎ 当cosα≠0时,l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα,‎ 当cosα=0时,l的普通方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程 ‎(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,‎ 所以①有两个解,设为t1,t2,‎ 则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=-‎4(2cosα+sinα)‎‎1+3cos‎2‎α,‎ 故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.‎ ‎2.(2019云南曲靖沾益四中高三三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+‎2‎‎2‎t,‎y=-2+‎2‎‎2‎t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?‎ 6‎ 解:(1)将x=-1+‎2‎‎2‎t,‎y=-2+‎2‎‎2‎t消去参数t,‎ 得直线l的普通方程为x-y-1=0.‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,‎ 即ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.‎ ‎(2)联立y‎2‎‎=4x,‎x-y-1=0,‎ 得x2-6x+1=0,Δ=36-4=32>0,‎ 设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=6,x1x2=1,‎ 故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|‎ ‎=‎‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎ ‎=‎(1+1)×(36-4)‎=8.‎ ‎3.(2019江苏,21B)在极坐标系中,已知两点A‎3,‎π‎4‎,B‎2‎‎,‎π‎2‎,‎ 直线l的方程为ρsinθ+‎π‎4‎=3.‎ ‎(1)求A,B两点间的距离;‎ ‎(2)求点B到直线l的距离.‎ 解:(1)设极点为O.‎ 在△OAB中,A‎3,‎π‎4‎,B‎2‎‎,‎π‎2‎,‎ 由余弦定理,得 AB=‎‎3‎‎2‎‎+(‎2‎‎)‎‎2‎-2×3×‎2‎×cosπ‎2‎‎-‎π‎4‎‎=‎5‎.‎ ‎(2)因为直线l的方程为ρsinθ+π‎4‎=3,‎ 则直线l过点‎3‎2‎,‎π‎2‎,倾斜角为‎3π‎4‎‎.‎ 6‎ 又B‎2‎‎,‎π‎2‎,所以点B到直线l的距离为(3‎2‎‎-‎‎2‎)×sin‎3π‎4‎‎-‎π‎2‎=2.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以‎|-k+2|‎k‎2‎‎+1‎=2,故k=-‎4‎‎3‎或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-‎4‎‎3‎时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以‎|k+2|‎k‎2‎‎+1‎=2,故k=0或k=‎4‎‎3‎,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=‎4‎‎3‎时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y=-‎4‎‎3‎|x|+2.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t‎2‎,‎y=4t (t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+‎π‎4‎‎=‎2‎‎2‎.‎ ‎(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.‎ 解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,‎ C2:x-y-1=0.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为P(x0,y0),‎ 6‎ 联立y‎2‎‎=4x,‎x-y-1=0‎可得x2-6x+1=0.‎ ‎∴x1+x2=6,x1x2=1,‎‎∴‎x‎0‎‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=3,‎y‎0‎‎=2.‎ ‎∴AB中垂线的参数方程为 x=3-‎2‎‎2‎t,‎y=2+‎2‎‎2‎t‎(t为参数).①‎ y2=4x.②‎ 将①代入②中,得t2+8‎2‎t-16=0,‎ ‎∴t1·t2=-16.‎ ‎∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.‎ 能力提升 ‎6.(2019全国Ⅰ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=‎1-‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎,‎y=‎‎4t‎1+‎t‎2‎(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+‎3‎ρsin θ+11=0.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点到l距离的最小值.‎ 解:(1)因为-1<‎1-‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎‎≤‎1,且x2+y‎2‎‎2‎‎=‎1-‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎‎2‎+‎‎4‎t‎2‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎=1,所以C的直角坐标方程为x2+y‎2‎‎4‎=1(x≠-1).‎ l的直角坐标方程为2x+‎3‎y+11=0.‎ ‎(2)由(1)可设C的参数方程为x=cosα,‎y=2sinα(α为参数,-π<α<π).‎ C上的点到l的距离为‎|2cosα+2‎3‎sinα+11|‎‎7‎‎=‎4cosα-‎π‎3‎+11‎‎7‎.‎ 当α=-‎2π‎3‎时,4cosα-‎π‎3‎+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为‎7‎‎.‎ ‎7.已知直线C1:x=1+tcosα,‎y=tsinα(t为参数),圆C2:x=cosθ,‎y=sinθ(θ为参数).‎ 6‎ ‎(1)当α=π‎3‎时,求C1被C2截得的线段的长;‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当α变化时,求点A轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.‎ 解:(1)当α=π‎3‎时,C1的普通方程为y=‎3‎(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.‎ 联立方程组y=‎3‎(x-1),‎x‎2‎‎+y‎2‎=1,‎解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与‎1‎‎2‎‎,-‎‎3‎‎2‎‎.‎ 故C1被C2截得的线段的长为‎1-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎0+‎‎3‎‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2+2tcosα=0,‎ 设直线C1与圆C2交于M,N两点,M,N两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则点A对应的参数t=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎=-cosα,‎ 故点A的坐标为(sin2α,-cosαsinα).‎ 故当α变化时,点A轨迹的参数方程为x=sin‎2‎α,‎y=-sinαcosα(α为参数).‎ 因此,点A轨迹的普通方程为x-‎‎1‎‎2‎‎2‎+y2=‎‎1‎‎4‎‎.‎ 故点A的轨迹是以‎1‎‎2‎‎,0‎为圆心,半径为‎1‎‎2‎的圆.‎ 高考预测 ‎8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=-2+‎2‎‎2‎t,‎y=-4+‎2‎‎2‎t(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若|PA|·|PB|=|AB|2,求a的值.‎ 解:(1)∵ρsin2θ=acosθ(a>0),‎ ‎∴ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),‎ 即y2=ax(a>0).‎ 6‎ 直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,‎ 得t2-‎2‎(a+8)t+4(a+8)=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=‎2‎(a+8),t1·t2=4(a+8).‎ ‎∵|PA|·|PB|=|AB|2,‎ ‎∴t1·t2=(t1-t2)2.‎ ‎∴(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1·t2=5t1·t2,‎ 即[‎2‎(8+a)]2=20(8+a),‎ 解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),‎ ‎∴a的值为2.‎ 6‎