天津市滨海新区七所学校2020届高三上学期期末考试数学试卷

天津市滨海新区七所学校2020届高三上学期期末考试数学试卷

‎2020年天津市滨海新区七所学校高三毕业班联考 数学试卷 一、选择题（共9小题）‎ ‎1.记全集，集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合或，，求得，再结合集合的交集运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，全集，集合或，‎ 集合，‎ 所以，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知直线：，：，其中，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由时，得到，解得或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，直线：，：，‎ 当时，可得，解得或，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的图象与性质，求得，，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，根据对数的性质，可得，，‎ 又由，，‎ 因为，所以，可得，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理化简得，再由余弦定理得，进而得到，利用余弦定理，列出方程求得，最后结合三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】在中，，‎ 由正弦定理，可得，即，‎ 又由余弦定理可得，可得，‎ 因为，，‎ 由余弦定理，可得，即，‎ 即，解得，‎ 所以三角形的面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎5.已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由抛物线，求得，得到，再由焦点到渐近线的距离为，求得，进而得到，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，‎ 即双曲线的焦点坐标为，即，‎ 又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，‎ 所以焦点到的距离为，‎ 所以，又由，‎ 所以双曲线的方程为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ）‎ A. 4天 B. 5天 C. 6天 D. 7天 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又由莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，根据，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，‎ 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，‎ 又因为，即，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知函数（，）的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的命题中正确的是（ ）‎ A. 函数是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上是增函数 D. 当时，函数的值域是 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 因为函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，‎ 可得，即，所以，即，‎ 把函数沿轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，可得函数，‎ 可得函数为非奇非偶函数，所以A不正确；‎ 由，所以不是函数的对称轴，所以B不正确；‎ 由，则，由正弦函数的性质，可得函数在上单调递增，所以C正确；‎ 由，则，‎ 当时，即，函数取得最小值，最小值为，‎ 当时，即，函数取得最大值，最大值为，‎ 所以函数的值域为，所以D不正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.在梯形中，已知，，，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的运算法则，化简得到，得到，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：‎ ‎，‎ 又因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，若函数（，）在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数在区间上有4个不同的零点，转化为与的图象在上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 可得，‎ 所以函数为上的偶函数，‎ 当时，，‎ 可得，所以函数在上单调递增，所以在单调递减，‎ 又由，‎ 所以函数的图象，如图所示，‎ 要使得函数在区间上有4个不同的零点，‎ 即函数与的图象在上有4个不同的交点，‎ 则满足，解得，‎ 即实数的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题（共6小题）‎ ‎10.已知复数，则复数的虚部为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算，化简得，进而求得复数的虚部，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.二项式，则该展开式中的常数项是______.‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，‎ 令，可得，即展开式的常数项是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知圆：.直线过点，且与圆交于、两点，，则直线的方程______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆得到圆心，半径为，再根据圆的弦长公式，得到，再由圆心到直线的距离，列出方程，求得的值，即可求得直线的方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，圆：，可化为，‎ 可得圆心，半径为，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，即，‎ 又由圆的弦长公式，可得，即，即，‎ 根据圆心到直线的距离为，解得或，‎ 所以直线的方程或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎13.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，正四棱锥，设正方形的底面边长，‎ 因为四棱锥的体积为12，即，解得，‎ 再正方形中，可得，‎ 在直角中，，可得，‎ 在直角中，，可得，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 所以，‎ 则外接圆的直径为，解得，‎ 即四棱锥外接球的半径为，‎ 所以外接球的表面积为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎14.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.‎ ‎【详解】根据题意可分2种情况讨论：‎ ‎（1）若小张或小赵入选，则有种不同的选法；‎ ‎（2）若小张，小赵都入选，则有种不同的选法，‎ 综上可得，共有种不同的选法.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎15.已知，，则的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简、变形为，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，‎ 设，则，当且仅当，即取等号，‎ 又由在上单调递增，‎ 所以的最小值为，即，‎ 所以，‎ 所以的最大值是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题（共5小题）‎ ‎16.某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在内，其中语文成绩分组区间是：，，，，.其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示：‎ 分组区间 语文人数 ‎24‎ ‎3‎ 数学人数 ‎12‎ ‎4‎ ‎（1）求图中的值及数学成绩在的人数；‎ ‎（2）语文成绩在的3名学生均是女生，数学成绩在的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件发生的概率；‎ ‎（3）若从数学成绩在的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在 的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）数学成绩在的人数为8人（2）（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由根据频率分布直方图的性质，求得，再根据频率分布直方图数据，即可求解；‎ ‎（2）由事件可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生三种情况，即可求解相应的概率；‎ ‎（3）由题意，得到可能取值有，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图的性质，‎ 可得，解得.‎ 则语文成绩在，，，，中的人数分别为，‎ 则数学成绩在，，，，中的人数分别 为，‎ 所以数学成绩在的人数为8人.‎ ‎（2）从这7名学生中随机选取4名学生，事件为：“其中男生人数不少于女生人数”，‎ 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生，三种情况：‎ 所以事件发生的概率.‎ ‎（3）由题意可知可能取值有0，1，2.‎ ‎，，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎17.已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.‎ ‎（1）求数列与数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）;，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数列的通项和的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，得到答案.‎ ‎（2）由（1）可得，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列的前项和，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，数列的前项和为，‎ 当时，‎ 当时∴，‎ 当时也满足上式 所以数列的通项公式为.‎ 设数列的首项为，公比为，则，‎ ‎∴，，∴，.‎ ‎（2）由（1）可得，所以 设前项和为成，前项和为，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前项和，其中解答中熟记数列的通项和的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎18.如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得平面.‎ ‎（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；‎ ‎（3）假设存在点，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，因为，，，∴，‎ 又∴，∴，‎ ‎∵侧面，∴.‎ 又∵，，平面 ‎∴直线平面 ‎（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则有，，，，‎ 设平面的一个法向量为 ‎，‎ ‎∵，∴，令，则，∴‎ 设平面的一个法向量为，，，‎ ‎∵，∴，令，则，∴，‎ ‎，，，∴.‎ 设二面角为，则.‎ ‎∴设二面角的余弦值为.‎ ‎（3）假设存在点，设，∵，，‎ ‎∴，∴∴‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎∴，得.‎ 即，∴或，∴或.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎19.已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别是、，且椭圆上一动点到的最远距离为，过的直线与椭圆交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆标准方程；‎ ‎（2）当以为直角时，求直线的方程；‎ ‎（3）直线的斜率存在且不为0时，试问轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）直线的方程为或（3）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的离心率，且椭圆上一动点到的最远距离为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线：，则：，联立方程组，求得的值，即可求得直线的方程；‎ ‎（3）设：，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，再由斜率公式和以，即可求解点的坐标，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，椭圆的离心率，且椭圆上一动点到的最远距离为，‎ 可得，解得，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由题意可知，当不存在时，不符合题意.‎ 设直线：，则：，‎ ‎∴，得，∴‎ ‎∴，，∴，‎ 直线的方程为或.‎ ‎（3）设，，，：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，，所以，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,‎ 解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在的单调性；‎ ‎（2）当且时，，求函数在上的最小值；‎ ‎（3）当时，有两个零点，，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增（2）（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，结合导数的符号，即可求得函数的单调性；‎ ‎（2）由，求得，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.‎ ‎（3）由，根据题意，得到，，‎ 两式相减，，令，得到函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ 又∵，∴，，∴，‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎（2）由，则，‎ ‎（1）当时，，，‎ 此时图数在区间上单调递减，‎ ‎∴函数在处取得最小值，即；‎ ‎（2）当时，令，‎ 当时，即当，，，‎ 此时函数在区间上单调递减，函数在处取得最小值，‎ 即；‎ 综上所得.‎ ‎（3）证明：根据题意，，‎ ‎∵，是函数的两个零点，‎ ‎∴，.‎ 两式相减，可得，即，‎ ‎∴，则，.‎ 令，，则.‎ 记，，则.‎ 又∵，∴恒成立，故，即.‎ 可得，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎