TOP202020届高三上学期11月联考数学（理）试题

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百校联盟2019届TOP20十一月联考（全国I卷）‎ 理科数学 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的模为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.‎ ‎2.集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.‎ ‎【详解】因为 ‎，‎ 因为集合 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.‎ ‎3.已知向量，则实数是的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后分别判断由能否得到，和由能否得到，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为向量，所以 因，所以可得，‎ 所以是的充分条件.‎ 因为，所以 即.‎ 所以是的不必要条件.‎ 综上所述，实数是的充分而不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.‎ ‎4.已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按和，分别解不等式，从而得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，，‎ 由不等式 得或 所以或.‎ 即 所以不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 ‎ ‎ 俯视图 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥和三棱锥两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.‎ ‎【详解】该几何体的直观图如下图，‎ 平面平面，平面，‎ 与均是边长为的等边三角形，，‎ 点在平面上的射影落在的平分线上，‎ 所以平面，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以几何体的体积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.‎ ‎6.函数的图象在点处的切线与函数的图象围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎，‎ 所以切线方程为，‎ 与的交点横坐标为，.‎ 故封闭图形的面积 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.‎ ‎7.已知数列满足，，设数列的前n项和为，若，则与最接近的整数是（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系式，得到，得到的通项，从而得到的通项和前项和，从而求出，再得到，从而得到答案.‎ ‎【详解】由题意，，‎ 所以，‎ 所以为以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 因此，‎ 数列的前n项和为，‎ ‎，‎ 所以.‎ 所以与最接近的整数是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.‎ ‎8.已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像，然后得到的图像和的图像有两个交点，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】根据函数，‎ 画出的图象如图所示，‎ 函数有两个零点 则函数的图象与的图象有2个交点，‎ 所以，‎ 所以实数的取值范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.‎ ‎9.如果函数的单调递增区间为，则的最小值为（ ）‎ A. B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由单调递增区间为，得到对称轴方程，即，再根据基本不等式求出的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】因为函数的单调递增区间为 所以对称轴为：，即，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.‎ ‎10.已知 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用倍角公式，结合函数名的转换求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.‎ ‎11.如图，在三角形中，上有一点满足，将沿折起使得，若平面分别交边，，，于点，，，，且平面，平面则当四边形对角线的平方和取最小值时，（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得，，设，易得，，得，从而得到，，平行四边形中，，从而得到最小时的值，得到答案.‎ ‎【详解】平面，平面，‎ 平面平面，‎ 所以，同理 设，‎ 平面，平面，‎ 平面平面，‎ 所以，同理 所以，‎ 因为，‎ 所以，，‎ 在平行四边形中，‎ ‎，‎ 又，‎ 当时，取得最小值.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.‎ ‎12.定义在上的函数满足，，任意的，函数在区间上存在极值点，则实数m的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到周期为，再求得，得到，求导得到，判断出的两根一正一负，则在区间上存在极值点，且，得到在上有且只有一个根，从而得到关于的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于不等式组，解得的范围.‎ ‎【详解】由题意知，，‎ ‎，‎ 所以是以4为周期的函数，‎ ‎，‎ 所以，‎ 求导得，‎ 令，，‎ ‎，‎ 由，‎ 知有一正一负的两个实根.‎ 又，‎ 根据在上存在极值点，‎ 得到在上有且只有一个正实根.‎ 从而有，即恒成立，‎ 又对任意，上述不等式组恒成立，‎ 进一步得到 所以 故满足要求的的取值范围为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题.每小题5分.‎ ‎13.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，从而得到的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.‎ ‎14.已知x，y满足不等式组，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点与点两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】因为已知x，y满足不等式组，‎ 画出可行域，如图所示，‎ 表示点与点两点连线的斜率， ‎ 所以可得当直线过点时，最小，‎ 由得 所以的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.‎ ‎15.如图，底面为正方形，四边形为直角梯形，，平面，，，则异面直线与所成的角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方形的中心为，可得，得到直线与所成角为（或其补角），根据余弦定理，可得的值，从而得到答案.‎ ‎【详解】如图，‎ 设正方形的中心为，连接，，‎ 则 因为，‎ 所以，‎ 所以为平行四边形，‎ 所以，‎ 所以直线与所成角等于与所成的角，即（或其补角），‎ 因，‎ 在三角形中，根据余弦定理，可知，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.‎ ‎16.已知函数在区间上有最小值，无最大值，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对进行整理，得到，根据最小值，得到，然后根据在区间无最大值，得到周期的范围，从而得到的范围，确定出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 依题意，则，‎ 所以.‎ 因为在区间上有最小值，无最大值，‎ 所以，即，‎ 令，得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知递增的等比数列的前n项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列，解出和的值，从而得到公比，得到的通项公式；（2）根据（1）得到，再利用错位相减法和分组求和的方法求出的前n项和 ‎.‎ ‎【详解】（1）由题意，‎ 解得或；‎ 而等比数列递增，所以，‎ 故公比，所以 ‎（2）由（1）得到…，‎ 所以，‎ ‎……，‎ 设…，‎ ‎…，‎ 两式相减可得，…‎ 故，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前项的和，属于简单题.‎ ‎18.已知函数在区间上为单调递减函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）当时，方程有三个实根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得，根据在区间上为减函数，得到在区间上恒成立，从而得到关于，的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到的最大值；（2）根据，得到的范围，设，求导得到，令得到或，从而得到的极值点，根据有个零点，得到的不等式组，解得的范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 因为在区间上为减函数，‎ 所以在区间上恒成立 即，‎ 画出可行域如图所示：‎ 设，所以，‎ 表示直线，在纵轴上的截距.‎ 当直线经过点时，最大，‎ 由 所以，‎ 故的最大值为.‎ ‎（2）由得 代入 可得，‎ 令 ‎，‎ 故由，‎ 得或，‎ 所以得到和随x的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 要使有三个零点，‎ 故需 即 解得，‎ 而 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎19.已知的内角，，所对的边分别为， ，满足，且边上一点使得.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据条件得到为等边三角形，从而得到，根据正弦定理，得到的值，根据余弦定理，得到的长，根据三角形面积公式，得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为 在，由正弦定理 所以得.‎ 所以.‎ 即 所以，‎ 因为，所以 ‎（2）由（1）知，而 为等边三角形.‎ 由于是的外角，‎ 所以.‎ 在中，由正弦定理得，‎ 即，所以.‎ 所以由余弦定理得，，‎ 即，‎ 所以，‎ 故，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，且为的中点，延长交于点，且在底内的射影恰为的中点，为的中点，为上任意一点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面ABCD，得到，由平面几何知识得到，从而得到平面，所以所以平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）由题意，E为CD的中点，‎ 因为平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以，又因为，‎ ‎，，‎ 所以垂直平分，‎ 所以 又因，‎ 所以为正方形，‎ 所以 因为为的中点，‎ 所以 而，所以，‎ 又，所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）因为在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H，‎ 所以.‎ 因为，所以过点O分别作AD，AB的平行线（如图），‎ 并以它们分别为x，y轴，‎ 以过O点且垂直于平面的直线为z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 所以，，，，，‎ 所以，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，所以 令，则，‎ 由（1）知，平面，所以平面，‎ 所以为平面的一个法向量，‎ 则.‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.‎ ‎21.已知函数与满足的函数具有相同的对称中心.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当，期中，是常数时，函数是否存在最小值若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据关于对称，从而得到，整理化简，得到的值；（2）判断出的单调性，得到当时，单调递减，从而得到最小值；（3）由得到，关系，然后将代入到，利用基本不等式，得到其最小值.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以图象关于对称，‎ 所以 所以 解得，‎ 所以.‎ ‎（2）的定义域为，‎ ‎，‎ 当且时，为减函数，‎ 所以当时，单调递减，‎ 所以当时，.‎ ‎（3）由，‎ 得 解得，‎ 所以 令，则，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即当，时，的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，函数的图象经过，其导函数的图象是斜率为，过定点的一条直线.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）当时，在上为减函数；‎ 当时，在上为减函数，在上为增函数.‎ ‎（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，得到，按和进行分类讨论，利用导函数的正负，得到的单调性；（2）根据题意先得到，然后得到的解析式，设 ‎，按和分别讨论，利用得到的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于时，整数的最小值.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域是，，‎ 当时，，所以在上为减函数，‎ 当时，令，则，‎ 当时，，为减函数，‎ 当时，，为增函数，‎ 综上，当时，在上为减函数；‎ 当时，在上为减函数，在上为增函数.‎ ‎（2）根据题意，，‎ 设，代入，可得，‎ 令，‎ 所以.‎ 当时，因为，所以.‎ 所以在上是单调递增函数，‎ 又因为，‎ 所以关于x的不等式不能恒成立.‎ 当时，，‎ 令，得.‎ 所以当时，；‎ 当时，，‎ 因此函数在上是增函数，在上是减函数.‎ 故函数的最大值为.‎ 令，因为，‎ 又因为在上减函数.‎ 所以当时，.‎ 所以整数的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.‎ ‎ ‎