数学理卷·2018届北京市海淀区高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届北京市海淀区高三上学期期中考试（2017

海淀区高三年级第一学期期中练习 数学（理科） 2017.11‎ ‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。‎ 第一部分（选择题，共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若集合，，则 （）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）已知向量，，则 （）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）已知数列满足，则 （）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）设，则“是第一象限角”是“”的 （）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）设（），则下列说法不正确的是 （）‎ ‎（A）为上偶函数 （B）为的一个周期 ‎（C）为的一个极小值点 （D）在区间上单调递减 ‎（8）已知非空集合满足以下两个条件：‎ ‎（ⅰ），；‎ ‎（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，‎ 则有序集合对的个数为 （）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第二部分（非选择题，共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）定积分的值等于．‎ ‎（10）设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为kPa．‎ ‎（11）能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为．‎ ‎（12）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则 ‎①；‎ ‎②若，则．‎ ‎（13）已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则，．‎ ‎（14）已知函数是定义在上的奇函数，‎ 当时，，其中．‎ ‎① ；‎ ‎②若的值域是，则的取值范围是．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值．（其中是自然对数的底数）‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 如图，在四边形中，，且为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求和的长.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知函数（），（）‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；‎ ‎（Ⅲ）若存在，，满足，求的取值范围.（只需写出结论）‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 若数列：，，…，（）中（）且对任意的 恒成立，则称数列为“数列”．‎ ‎（Ⅰ）若数列，，，为“数列”，写出所有可能的，；‎ ‎（Ⅱ）若“数列”：，，…，中，，，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，…，，‎ 记，其中表示，，…，这个数中最大的数，求的最小值．‎ 海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案2017.11‎ 数学（理科）‎ 阅卷须知:‎ ‎1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.‎ ‎2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 C A D D B C D A 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)‎ ‎9． 010．8111．212．（1） （2）‎ ‎13．，14．（1） （2）‎ 三、解答题: 本大题共4小题，共44分.‎ ‎15．（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）因为……………………1分 ‎……………………2分 ‎……………………3分 ‎（Ⅱ）‎ ‎……………………4分 ‎……………………8分 ‎（一个公式2分）‎ ‎ ……………………10分 ‎ 因为， 所以……………………11分 ‎ 所以故 ‎ ‎ 当即时，有最大值 当即时，有最小值…………………… 13分 ‎（函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分）‎ ‎16．（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）设数列的公比为，则 ‎ ……………………2分 解得， ……………………3分 ‎ 所以， ……………………5分 ‎ 令，则 ‎ ‎ ……………………7分 ‎ ……………………9分 ‎（Ⅱ） …………………13分 ‎（分组求和，每组求对给2分）‎ ‎17．（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，，………………1分 此时，，，……………………2分 故曲线在点处的切线方程为．……………………3分 ‎（Ⅱ）的定义域为……………………4分 ‎ ……………………5分 令得，或 ……………………6分 ① 当时，‎ 对任意的，，在上单调递增…………7分 ‎ …………………… 8分 ‎②当时 ‎0‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ ‎……………………10分 ‎ ……………………11分 ② 当时，‎ 对任意的，，在上单调递减…………12分 ‎ …………………… 13分 由①、②、③可知，‎ ‎18．（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）因为， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ …………………… 2分（没写角取值范围的扣1分 ）‎ 所以 ‎……………………4分 ‎ …………………… 6分 ‎ （Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得 ‎…………………10分 ‎（每个公式给2分）‎ 代入得 ‎ 解得或（舍）‎ 即， ……………………13分 ‎19．（本题14分）‎ 解：（Ⅰ） 因为 ……………………2分 ‎ ‎ ‎ 令，得 ‎ 因为，所以…………………… 3分 当变化时，，的变化情况如下：‎ 极大值 ‎…………………… 5分 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 …………………… 6分 ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎（），…………………… 7分 设，则 ‎ 故在是单调递增函数， …………………… 8分 又，故方程只有唯一实根 ……………………10分 当变化时，，的变化情况如下：‎ ‎1‎ 极小值 ‎……………………12分 故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点.‎ ‎（Ⅲ） ……………………14分 ‎20．（本题14分）‎ 解：（Ⅰ），或 …………………… 3分 ‎ ‎（Ⅱ）的最大值为，理由如下 …………………… 4分 一方面，注意到：‎ 对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立． （★）‎ 当，时，注意到，得 ‎（）‎ ‎ 此时 即，解得：，故……………… 7分 ‎ 另一方面，取（），则对任意的，，故数列为“数列”，此时，即符合题意．‎ 综上，的最大值为65． …………………… 9分 ‎（Ⅲ）的最小值为，证明如下： …………………… 10分 当（，）时，‎ ‎ 一方面：‎ ‎ 由（★）式，，‎ ‎．‎ 此时有：‎ 故………… 13分 另一方面，当，，…，，，，…，‎ 时，‎ 取，则，，，且 此时．‎ 综上，的最小值为． ……………………14分