2019-2020学年江西省赣州市高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年江西省赣州市高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省赣州市高二上学期期中数学（文）试题 一、单选题 ‎1．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ）‎ A．3 B．5 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由题意确定抽样比，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意该单位共有职工人，‎ 用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为，‎ 所以应抽查的老年人的人数为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型.‎ ‎2．已知向量，，且，则m＝（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．﹣2 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用平行的公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由,与可得 ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量平行的公式用法,属于基础题型.‎ ‎3．如图，是的直观图，其中，那么是（ ）‎ A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】 因为水平放置的的直观图中，，且 ‎ 所以， 所以是直角三角形，故选D.‎ ‎4．点到原点的距离为（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据空间坐标系中点与点之间的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 点到原点的距离 ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中两点间的距离公式,属于基础题型.‎ ‎5．甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平均成绩分别用 表示，则下列结论正确的是（ ）‎ A． ，且甲成绩比乙成绩稳定 B． ，且乙成绩比甲成绩稳定 C． ，且甲成绩比乙成绩稳定 D．，且乙成绩比甲成绩稳定 ‎【答案】C ‎【解析】从茎叶图提取两个人的成绩，分别求出两个人的平均分，得到甲的平均数比乙的平均数要低，但甲数据比较集中，所以成绩比较稳定.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 所以，‎ 因为甲数据比较集中，所以成绩比较稳定.‎ ‎【点睛】‎ 茎叶图保留了原始数据，所以可通过计算平均数来比较大小，再通过数据的集中与离散程度判断稳定性.‎ ‎6．在△ABC中，若a＝2bsinA，则角B等于（　　）‎ A．30°或150° B．45°或60° C．60°或120° D．30°或60°‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理进行边角互化再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理有,因为.因为,故.‎ 即,又,故B等于30°或150°.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的边角互化问题,属于基础题型.‎ ‎7．已知两条不同的直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n⫋α，则m∥n B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⫋β且 m⊥n，则α∥β ‎【答案】B ‎【解析】根据线面平行垂直的判定与性质等逐个判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A,直线的位置不确定,故不一定有,故A错误.‎ 对B,由线面垂直的性质有若m⊥α,,则n⊥α ,故B正确.‎ 对C, 若m∥α,n∥α,则间的夹角不能确定,故C错误.‎ 对D, 若m⊥α,n⫋β且 m⊥n则的位置不确定,不能推出,故D错误.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面与线线平行垂直的判定与性质等,一般是根据条件举出反例即可.属于简单题型.‎ ‎8．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．‎ ‎9．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　）‎ A．44号 B．294号 C．1196号 D．2984号 ‎【答案】B ‎【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 根据三视图可知该几何体为四棱锥，四边形是边长为1的正方形，平面，，则四棱锥的体积为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎11．已知圆，由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求处切线长的最小值，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 将圆化为标准方程，得，‎ 所以圆心坐标为，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以切线长的最小值为，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．24π ‎【答案】B ‎【解析】由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,故画出如图所示鳖臑.‎ 设长方体体对角线即外接球直径为则 ,‎ 故外接球体积. 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了长方体中三棱锥的外接球问题,注意体对角线等于外接球直径即可.属于基础题型.‎ 二、填空题 ‎13．已知正六棱柱的高为2，底面边长为1，则该正六棱柱表面积为_____．‎ ‎【答案】12+3‎ ‎【解析】分别求解底面的正六边形面积与侧面的六个矩形面积求和即可.‎ ‎【详解】‎ 正六棱柱的高为2,底面边长为1,‎ 故正六棱柱的底为由6个全等的边长为1的等边三角形构成．‎ 且正六棱柱的侧面积为S侧＝6×1×2＝12, ‎ 正六棱柱的底面积为S底＝23,‎ 所以圆柱的表面积为：S表＝12+3,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正六棱柱的表面积问题,注意正六边形转换为六个正三角形进行面积的求解.属于基础题型.‎ ‎14．设的内角的对边分别为，且，则________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：由及正弦定理，得．又因为，所以．由余弦定理得：，所以．‎ ‎【考点】正余弦定理．‎ ‎15．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为1.4x+a，则a的值等于_____．‎ ‎【答案】0.9‎ ‎【解析】根据线性回归方程经过样本中心点,代入样本中心点求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵1.5,3,‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（1.5,3）‎ 把样本中心点代入回归直线方程,‎ ‎∴3＝1.4×1.5+a,∴a＝0.9．‎ 故答案为：0.9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归方程过样本中心点的知识点,属于基础题型.‎ ‎16．已知圆截y轴所得的弦长为，过点且斜率为k的直线l与圆C交于A、B两点，若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆中弦长的运算可得：，‎ 由点到直线的距离公式可得：，运算可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意有，‎ 由已知可设直线方程为，‎ 设圆心（4,2）到直线的距离为，‎ 则，‎ 即，‎ 则，解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆中弦长的运算及点到直线的距离公式，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．‎ ‎（1）若向量与的夹角为θ，求cosθ；‎ ‎（2）当m为何值时，向量m与垂直．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】(1)利用三点的坐标求得与,再利用求解即可.‎ ‎(2)由题,代入向量坐标求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,且与的夹角为θ,‎ ‎∴；‎ ‎（2）,‎ ‎∴,且,‎ ‎∵与垂直,‎ ‎∴,解得m．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的坐标表示方法与求角和数量积的公式等.属于基础题型.‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a＝2，△ABC的周长为6，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】(1)利用正弦定理边角互化与和差角公式化简求即可.‎ ‎(2)利用a＝2,△ABC的周长为6可求出b+c＝4.再用余弦定理与化简出关于的表达式从而得出再求解面积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵,‎ ‎∴由正弦定理可得3sinAcosBsinBsinA＝3sinC,‎ ‎∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA,‎ ‎∴sinBsinA＝3cosAsinB,‎ ‎∵sinB≠0,∴sinA＝3cosA,可得tanA,‎ ‎∵A∈（0,π）,∴A．‎ ‎（2）∵A,a＝2,△ABC的周长为6,‎ ‎∴b+c＝4,‎ ‎∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA,可得4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣3bc,解得bc＝4,‎ ‎∴S△ABCbcsinA．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理化简边角关系的方法以及余弦定理化简三边的关系求解面积的方法等.属于中等题型.‎ ‎19．如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB＝CE＝2．‎ ‎（1）求证：DE∥平面ACF；‎ ‎（2）求异面直线EO与AB所成角的余弦值；‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】(1) 利用中位线证明 OF∥DE即可.‎ ‎(2)以为空间坐标系原点进行建系,再求得与,利用向量夹角的运算进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连结OF,‎ ‎∵在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC＝60°,AC与BD交于点O,‎ ‎∴O是BD中点,∵F为BE的中点,∴OF∥DE,‎ ‎∵DE⊄平面ACF,OF⊂平面ACF,‎ ‎∴DE∥平面ACF．‎ ‎（2）解：以O为原点,OD为x轴,OA为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则E（0,﹣1,2）,O（0,0,0）,A（0,1,0）,B（,0,0）,‎ ‎（0,﹣1,2）,（,﹣1,0）,‎ 设异面直线EO与AB所成角为θ,则cosθ．‎ ‎∴异面直线EO与AB所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间向量求解线线角的问题,属于中等题型.‎ ‎20．华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018年的销售量跃居全球第二名，某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查，并将这人的手机价格按照，，…分成组，制成如图所示的频率分布直方图，其中是的倍.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求这名顾客手机价格的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；‎ ‎（3）利用分层抽样的方式从手机价格在和的顾客中选取人，并从这人中随机抽取人进行回访，求抽取的人手机价格在不同区间的概率.‎ ‎【答案】（1），（2）（元）（3）‎ ‎【解析】（1）解方程组即得解；（2）利用频率分布直方图中平均数的公式计算即得这名顾客手机价格的平均数.（3）利用古典概型的概率公式求抽取的人手机价格在不同区间的概率.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知得，‎ 解得，.‎ ‎（2）平均数（元）‎ ‎（3）由已知得从手机价格为中抽取人，设为，，，，‎ 在手机价格为中抽人，设为，，‎ 从这人中任意取人，共有种抽法，分别为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，‎ 其中抽取的人的手机价格在不同区间的有种，‎ 抽取的人手机价格在不同区间的概率：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的计算，考查平均数的计算和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．如图，在△MBC中，MA是BC边上的高，MA＝3，AC＝4，将△MBC沿MA进行翻折，使得∠BAC＝90°如图，再过点B作BD∥AC，连接AD，CD，MD且，∠CAD＝30°．‎ ‎（1）求证：平面MCD⊥平面MAD；‎ ‎（2）求点B到平面MAD的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】(1)证明CD⊥平面MAD即可.‎ ‎(2)利用等体积法 VB﹣MAD＝VM﹣BAD,再求出,利用三棱锥的体积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为MA是BC边上的高,所以MA⊥AB,MA⊥AC,‎ 又因为AB⊂平面ABDC,AC⊂平面ABDC,AB∩AC＝A,‎ 所以MA⊥平面ABDC,则MA⊥CD,MA⊥AD,‎ 在Rt△ADM中,MD,‎ 在Rt△ACM中,MC5,‎ 在△ACD中,由余弦定理可得CD2,‎ 则在△CDM中,CD2+DM2＝CM2,即有△CDM是直角三角形,所以CD⊥DM,‎ 又因为CD⊥AM,AM⊂平面MAD,DM⊂平面MAD,AM∩DM＝M,‎ 所以CD⊥平面MAD,又因为CD⊂平面MCD,所以平面MCD⊥平面MAD；‎ ‎（2）在△BAD中,∠BAD＝60°,AD＝2,则AB,BD＝3,所以,‎ 又因为MA⊥AD,所以3,‎ 因为MA⊥平面ABDC,即MA⊥平面BAD,则VB﹣MAD＝VM﹣BAD,‎ 即3,解得d,‎ 即点B到平面MAD的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直的证明以及利用等体积法求点到面的距离方法,属于中等题型.‎ ‎22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0相交于M、N两点 ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）若O为坐标原点，问是否存在直线l，使得，若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析； （3）不存在，见解析.‎ ‎【解析】(1)设直线的方程为,再联立圆的方程,令二次方程的判别式大于0即可求解.‎ ‎(2)设M（x1,y1）,N（x2,y2）,联立直线与圆的方程,再表达出,代入韦达定理化简消去即可.‎ ‎(3)联立直线与圆的方程,再利用求得,判断是否满足的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l的方程为y＝kx+1,‎ 代入圆的方程可得：x2+（kx+1）2﹣4x﹣6（kx+1）+12＝0,‎ 化简得：（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0,‎ ‎∵直线l与圆有两个交点,∴△＝16（k+1）2﹣28（1+k2）＞0,即3k2﹣8k+3＜0,‎ 解得：．‎ ‎（2）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则（x1,y1﹣1）,（x2,y2﹣1）,‎ ‎∴x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1,‎ 由（1）可知x1x2,x1+x2,‎ ‎∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1,‎ y1+y2＝kx1+1+kx2+1＝k（x1+x2）+2,‎ ‎∴x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+17,即为定值．‎ ‎（3）若8,则x1x2+y1y2＝8,即1＝8,‎ ‎∴0,即k＝0或k＝﹣1．‎ 由（1）可知k＞0,故不存在直线l,使得8．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系,联立方程利用韦达定理与判别式方法表达题中所给的条件,再化简消去参数即可.属于中等题型.‎