【数学】2018届一轮复习北师大版　二项式定理学案

【数学】2018届一轮复习北师大版　二项式定理学案

第3讲　二项式定理 ‎[学生用书P193])‎ ‎1．二项式定理 ‎(1)定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．‎ ‎(2)通项 第k＋1项为：Tk＋1＝Can－kbk．‎ ‎(3)二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．‎ ‎(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．‎ ‎(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n)．‎ ‎2．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．‎ ‎1．已知展开式的第4项等于5，则x等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．－ C．7 D．－7‎ ‎　B　[解析] 由T4＝Cx4＝5得x＝－，故选B．‎ ‎2. 二项式的展开式中，常数项的值是(　　)‎ A．240　　 B．60‎ C．192 D．180‎ ‎　A　[解析] 二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r＝26－rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2C＝16×＝240.‎ ‎3．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(　　)‎ A．180　　 B．－180‎ C．45 D．－45‎ ‎　A　[解析] 由题意得a8＝C22(－1)8＝180.‎ ‎4．(2016·高考北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)‎ ‎[解析] (1－2x)6的展开式的通项Tr＋1＝C(－2)rxr，当r＝2时，T3＝C(－2)2x2＝60x2，所以x2的系数为60.‎ ‎[答案] 60‎ ‎5．在二项式的展开式中，x的系数是－10，则实数a的值为________．‎ ‎[解析] Tr＋1＝C(x2)5－r·＝(－a)rC·x10－3r.‎ 当10－3r＝1时，r＝3，于是x的系数为(－a)3C＝－10a3，从而由已知得a＝1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎　二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)[学生用书P193]‎ 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．‎ 高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求展开式中的某一项；‎ ‎(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；‎ ‎(3)由已知条件求n的值或参数的值．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(x2＋2)的展开式的常数项是________．‎ ‎(2)(2016·高考山东卷)若(ax2＋)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．‎ ‎【解析】　(1)(x2＋2)＝(x2＋2)·，故它的展开式的常数项为C－2＝3.‎ ‎(2)(ax2＋)5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r ·x10－，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.‎ ‎【答案】　(1)3　(2)－2‎ 与二项展开式有关问题的解题策略 ‎(1)求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．‎ ‎(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．‎ ‎(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　求展开式中的某一项 ‎1.＋的展开式中的常数项为(　　)‎ A．32　　　　 B．34　　　　‎ C．36　　 D．38‎ ‎　D　[解析] 的展开式的通项为 Tk＋1＝C(x3)4－k·＝C(－2)kx12－4k，‎ 令12－4k＝0，解得k＝3，‎ 的展开式的通项为Tr＋1‎ ‎＝C·x8－r·＝C·x8－2r，‎ 令8－2r＝0，得r＝4，‎ 所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38.‎ ‎ 角度二　求展开式中的项的系数或二项式系数 ‎2．(2017·湖北枣阳第一中学模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)‎ A．10　　 B．20 ‎ C．30 D．60‎ ‎　C　[解析] (x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.‎ ‎ 角度三　由已知条件求n的值或参数的值 ‎3．若展开式中的常数项为－40，则a＝________．‎ ‎[解析] 展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)5－r·＝C25－rx5－2r，因为的展开式中的常数项为－40，所以axC22x－1＋C23x1＝－40，所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.‎ ‎[答案] －3‎ ‎　二项式系数的性质或各项系数和[学生用书P194]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)在二项式的展开式中，系数最大的项为第________项．‎ ‎(2)(2017·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．‎ ‎【解析】　(1)依题意可知Tr＋1＝C(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是C与C.当r＝6时，T7＝Cx4，故系数最大的是第七项．‎ ‎(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－‎ a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.‎ ‎【答案】　(1)七　(2)1或－3‎ 本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．‎ ‎[解析] 令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.‎ ‎[答案] －1或－5‎ 赋值法的应用 ‎(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．‎ ‎(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为______(结果化成最简形式)．‎ ‎[解析] (1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1－5y)5的展开式的各项系数和，在(1－5y)5中，令y＝1，得展开式的各项系数和为(－4)5＝－1 024，所以(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为－1 024.‎ ‎[答案] －1 024‎ ‎2．在(1－x)3(1＋x)8的展开式中，含x2项的系数是n，若(8－nx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0＋a1＋a2＋…＋an＝________．‎ ‎[解析] (1－x)3的展开式的前三项为T1＝C，T2＝－Cx，T3＝Cx2，(1＋x)8展开式的前三项为P1＝C，P2＝Cx，P3＝Cx2，所以x2的系数为C×C－C×C＋C×C＝7，所以n＝7.‎ ‎(8－7x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，‎ 令x＝1得(8－7)7＝1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎　二项式定理的应用[学生用书P195]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B．1‎ C．11 D．12‎ ‎【解析】　512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.‎ ‎【答案】　D ‎(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．‎ ‎(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．　 ‎ ‎　求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．‎ ‎[证明] 因为n∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．‎ ‎[学生用书P195])‎ ‎——与二项式定理有关的交汇问题 ‎　(2017·湖北省黄冈中学调研)设函数f(x)＝‎ 则x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中的常数项为________．(用数字作答)‎ ‎【解析】　根据题意得：当x＞0时，f[f(x)]＝，所以其通项为Tr＋1＝C(－x－‎ eq f(1,2))6－r·(2x)r＝C(－1)6－r2rxr－3，当r＝3时，得到 f[f(x)]表达式的展开式中的常数项为C×(－1)6－3×23＝－160.‎ ‎【答案】　－160‎ ‎　(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是当x>0时，将f[f(x)]的表达式转化为二项式．‎ ‎(2)二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列、不等式、定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系．‎ ‎　(2017·东北三省三校一联)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝(　　)‎ A．2n－1＋3　　　　　　　 B．2(2n－1＋1)‎ C．2n＋1 D．1‎ ‎　C　[解析] 二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为＝，所以an＝2n，bn＝，所以＝＝＝2n＋1，故选C.‎ ‎[学生用书P373(独立成册)]‎ ‎1．(2017·广东测试)的展开式中，常数项是(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B． C．－ D． ‎　D　[解析] Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.‎ 所以常数项为C＝.故选D．‎ ‎2．(2017·兰州市诊断考试)(m＋x)(x＋1)3的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为16，则xmdx＝(　　)‎ A．1　　 B．－1‎ C．0 D． ‎　C　[解析] (m＋x)(x＋1)3＝(m＋x)(Cx3＋Cx2＋Cx＋C)，所以x的奇数次幂项的系数之和为mC＋mC＋C＋C＝16，解得m＝3，所以xmdx＝x3dx＝x4＝0.‎ ‎3．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)二项式的展开式中x的系数等于(　　)‎ A．84　　 B．24‎ C．6 D．－24‎ ‎　A　[解析] 根据二项式定理可知，Tr＋1＝Cr99－rx9－r＝C99－rx9，令9－r＝1，得r＝6，所以x的系数为C×93＝84，故选A.‎ ‎4．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)‎ A．2n　　 B． C．2n＋1 D． ‎　D　[解析] 设f(x)＝(1＋x＋x2)n，‎ 则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①‎ f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②‎ 由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，‎ 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.‎ ‎5．(2017·海口市调研测试)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)‎ A.　　 B． C．1 D．2‎ ‎　D　[解析] 因为展开式的通项为Tr＋1＝C·x10－r＝Cx10－2r，所以(x2－a)‎ 的展开式中含x6的项为x2·Cx4－aCx6＝(C－aC)·x6，则C－aC＝30，解得a＝2，故选D．‎ ‎6．(2017·广东肇庆三模)(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是(　　)‎ A．68y7　　 B．112x3y4‎ C．672x2y5 D．1 344x2y5‎ ‎　C　[解析] 设第r＋1项系数最大，则有 即 即解得 又因为r∈Z，所以r＝5.所以系数最大的项为T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故选C.‎ ‎7．(2016·高考天津卷)的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)‎ ‎[解析] 二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)8－r＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C＝－56.‎ ‎[答案] －56‎ ‎8．(2017·广州模拟)在的展开式中，x的非负整数次幂的项的个数为________．‎ ‎[解析] 展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·(3)15－r·＝(－1)r2rCx，由题意5－r为非负整数，得r＝0或6，所以符合要求的项的个数为2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎9．(2017·广州市综合测试(一))已知的展开式中的二项式系数和为32，的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．‎ ‎[解析] 的展开式中的二项式系数和为32，所以2n＝32，所以n＝5.令x＝1，则的展开式中的各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，所以a＝1，所以 的展开式中的常数项为C(－1)325－3＋C(－1)225－2＝40.‎ ‎[答案] 40‎ ‎10．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________．‎ ‎[解析] 令x＝－2得a0＝－1.‎ 令x＝0得27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3.‎ 因此a1＋2a2＋4a3＝14.‎ 因为C(2x)3·30＝a3·x3.‎ 所以a3＝8.‎ 所以a1＋2a2＋3a3＝14－a3＝6.‎ 所以a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5.‎ ‎[答案] 5‎ ‎11．已知二项式的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求展开式中的常数项．‎ ‎[解] (1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，‎ 即2n＝256，解得n＝8.‎ ‎(2)该二项展开式中的第r＋1项为 Tr＋1＝C()8－r·＝C·x，‎ 令＝0，得r＝2，‎ 此时，常数项为T3＝C＝28.‎ ‎12．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．‎ ‎[解] 由，得 Tr＋1＝C＝·C·x.‎ 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，‎ 所以r＝4，所以常数项T5＝C×＝16.‎ 又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.‎ 由题意得2n＝16，所以n＝4.‎ 由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，‎ 所以Ca4＝54，所以a＝±.‎ ‎13．487被7除的余数为a(0≤a<7)，则展开式中x－3的系数为(　　)‎ A．4 320　　 B．－4 320‎ C．20 D．－20‎ ‎　B　[解析] 487＝(49－1)7＝C·497－C·496＋…＋C·49－1，‎ 因为487被7除的余数为a(0≤a<7)，‎ 所以a＝6，‎ 所以展开式的通项为Tr＋1＝C·(－6)r·x6－3r，‎ 令6－3r＝－3，可得r＝3，‎ 所以展开式中x－3的系数为C·(－6)3＝－4 320.‎ ‎14．已知(xtan θ＋1)5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则tan θ＝________．‎ ‎[解析] 的通项为Tr＋1＝C·x4－r·，令4－r＝3，则r＝1，所以的展开式中x3的系数是C·＝5，(xtan θ＋1)5的通项为TR＋1＝C·(xtan θ)5－R，令5－R＝2，得R＝3，所以(xtan θ＋1)5的展开式中x2的系数是C·tan2θ＝5，所以tan2θ＝，所以tan θ＝±.‎ ‎[答案] ± ‎15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，求：‎ ‎(1)a8＋a7＋…＋a1；‎ ‎(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.‎ ‎[解] 令x＝0得a0＝1.‎ ‎(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①‎ 所以a8＋a7＋…＋a1＝28－a0＝256－1＝255.‎ ‎(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0，②‎ 由①＋②得 ‎28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，‎ 所以a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.‎ ‎16．若展开式中前三项的系数成等差数列，求：‎ ‎(1)展开式中x的所有有理项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项．‎ ‎[解] 易求得展开式前三项的系数为1，C，C.‎ 据题意得2×C＝1＋C⇒n＝8.‎ ‎(1)设展开式的通项为Tr＋1，‎ 由Tr＋1＝C()8－r＝Cx，‎ 所以r为4的倍数，‎ 又0≤r≤8，所以r＝0，4，8.‎ 故有理项为T1＝Cx＝x4，‎ T5＝Cx＝x，T9＝Cx＝.‎ ‎(2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则：C≥C 且C≥C⇒r＝2或r＝3.‎ 故展开式中系数最大的项为T3＝Cx＝7x，‎ T4＝Cx＝7x.‎