2015年数学理高考课件6-2 一元二次不等式及其解法

2015年数学理高考课件6-2 一元二次不等式及其解法

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．　 2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．　 3. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 第二节　一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解集 “ 三个二次 ” 分三种情况讨论，对应的一元二次不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 与 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集，可归纳为： 若 a ＜ 0 时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． ___________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ． 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论 (1) 若二次项系数为常数，首先需将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3) 对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 1. 不等式 x 2 － 3 x ＋ 2<0 的解集为 ( 　　 ) A ． ( － ∞ ，－ 2) ∪ ( － 1 ，＋ ∞ ) 　 B ． ( － 2. － 1) C ． ( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) D ． (1,2) 解析： ∵ ( x － 1)( x － 2)<0 ∴ 1< x <2 ， 即不等式的解集为 (1,2) ． 答案： D 答案： A 解析： ① 当 x － 2>0 ，即 x >2 时，不等式可化为 ( x － 2) 2 ≥ 4 ， ∴ x ≥ 4 ； ② 当 x － 2<0 ，即 x <2 时，不等式可化为 ( x － 2) 2 ≤ 4 ， ∴ 0 ≤ x <2. 答案： B 4 ． (2014 年衡阳模拟 ) 若集合 A ＝ { x | ax 2 － ax ＋ 1 ＜ 0} ＝ ∅ ，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 解析： 由题意知， a ＝ 0 时，满足条件；当 a ≠ 0 时，由题意知 a ＞ 0 且 Δ ＝ a 2 － 4 a ≤ 0 ，得 0 ＜ a ≤ 4 ，所以 0 ≤ a ≤ 4. 答案： [0,4] 一元二次不等式的解法 [ 答案 ] 　 (1)C 　 (2)D 反思总结 解一元二次不等式的一般步骤 (1) 对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0 ，即 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a >0) ， ax 2 ＋ bx ＋ c <0( a >0) ； (2) 计算相应的判别式； (3) 当 Δ ≥ 0 时，求出相应的一元二次方程的根； (4) 根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 含参数的一元二次不等式的解法 【 例 2】 　解关于 x 的不等式 ax 2 － 2 ≥ 2 x － ax ( a ∈ R ) ． 反思总结 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1) 二次项若含有参数应讨论是等于 0 ，小于 0 ，还是大于 0 ，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2) 判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3) 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 提示：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向． 变式训练 1 ．解关于 x 的不等式 x 2 － 2 ax ＋ 2 ≤ 0. 一元二次不等式的应用 【 例 3】 　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元 / 辆，出厂价为 12 万元 / 辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x (0< x <1) ，则出厂价相应地提高比例为 0.75 x ，同时预计年销售量增加的比例为 0.6 x ，已知年利润＝ ( 出厂价－投入成本 ) × 年销售量． (1) 写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2) 为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？ 反思总结 解不等式应用题，一般可按如下四步进行 (1) 阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2) 引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3) 解不等式； (4) 回答实际问题． —— 含参不等式恒成立问题的求解策略 不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形式出现在高中数学的各部分内容中，其解决的关键是转化与化归思想的运用．从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式有如下三种策略： 变换主元转化为一次函数问题 【 典例 1】 　求使不等式 x 2 ＋ ( a － 6) x ＋ 9 － 3 a >0 ， | a | ≤ 1 恒成立的 x 的取值范围． [ 解析 ] 　 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式 ( x － 3) a ＋ x 2 － 6 x ＋ 9>0. 令 f ( a ) ＝ ( x － 3) a ＋ x 2 － 6 x ＋ 9. 因为 f ( a )>0 在 | a | ≤ 1 时恒成立，所以 (1) 若 x ＝ 3 ，则 f ( a ) ＝ 0 ，不符合题意，应舍去． 由题悟道 在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系．本题已知参数 a 的取值范围，求 x 的取值范围，若能转换两者在问题中的地位，则关于 x 的一元不等式就立即转化为关于 a 的不等式，问题迎刃而解． 沟通不等式、函数、方程的联系，转化为方程根的分布问题 [ 答案 ] 　 C 由题悟道 本题利用换元法沟通了 “ 三个二次 ” 之间的关系，简化了运算，但需要注意换元后自变量的取值范围． 分离参变量、构造函数求最值 由题悟道 这类问题经常用到下面的结论：若函数 f ( x ) 存在最小值，则 a ≤ (<) f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≤ (<) f ( x ) min ；若函数 f ( x ) 存在最大值，则 a ≥ (>) f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≥ (>) f ( x ) max . 1 ． (2014 年广州模拟 ) 在 R 上定义运算 ⊗ ： x ⊗ y ＝ x (1 － y ) ．若对任意 x >2 ，不等式 ( x － a ) ⊗ x ≤ a ＋ 2 都成立，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． [ － 1,7] B ． ( － ∞ ， 3] C ． ( － ∞ ， 7] D ． ( － ∞ ，－ 1] ∪ [7 ，＋ ∞ ) 答案： C 2 ．若不等式 x 2 ＋ ax ＋ 4 ≥ 0 对一切 x ∈ (0,1] 恒成立，则 a 的取值范围是 ________ ． 答案： [ － 5 ，＋∞ ) 本小节结束 请按 ESC 键返回