数学文卷·2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）下学期期中质量检测（2017

数学文卷·2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）下学期期中质量检测（2017

高三重点班期中质量大检测 文科数学试题 一、选择题（60分）‎ ‎1.抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)‎ A.(0，a) B.(a，0)‎ C. D. ‎2.执行如图所示的算法框图，输出的n为(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·等于(　　)‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎4.向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A.45° B.60° C.90° D.120°‎ ‎5.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点.若＝m，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎6.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　)‎ A.10 B.11 C.13 D.21‎ ‎7.若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为(　　)‎ A.0 B.－ C.0或－ D.2‎ ‎8.第31届夏季奥运会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行.运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者，‎ 现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎9..设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A.若z2≥0，则z是实数 B.若z2＜0，则z是虚数 C.若z是虚数，则z2≥0 D.若z是纯虚数，则z2＜0‎ ‎10.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A.x2＝y B.x2＝y C.x2＝8y D.x2＝16y ‎11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C.1＋ D.1＋ ‎12.已知等差数列{an}中，a5＝13，S5＝35，则公差d＝(　　)‎ A.－2 B.－1 C.1 D.3‎ 二、填空题（20分）‎ ‎13.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，且点M的横坐标为2，则|MF|＝________.‎ ‎14.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________.‎ ‎15.已知向量⊥， ||＝3，则·＝________.‎ ‎16.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.‎ 三、解答题（70题，17题10分，其余12分）‎ ‎17.双曲线－＝1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过M(－1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程.‎ ‎18.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.‎ ‎19.已知函数f(x)＝4cos ωx·sin＋a(ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值.‎ ‎21.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值.‎ ‎22.已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.‎ ‎(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；‎ ‎(2)求＋的最小值.‎ 参考答案 ‎1.解析　抛物线y＝4ax2(a≠0)化为标准方程x2＝y，因此其焦点坐标，故选C.‎ 答案　C ‎2.解析　由算法框图可知：a＝，n＝2；a＝，n＝3，a＝，n＝4，此时不满足条件，结束循环，输出n＝4，故选B.‎ 答案　B ‎3.解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴·＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.‎ 答案　A ‎4.解析　∵(a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，‎ ‎∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.故选C.‎ 答案　C ‎5.解析　联立抛物线与直线方程得，解得xA＝3，xB＝，∵所给直线经过抛物线的焦点F，且其准线为x＝－1，∴A点到准线的距离为4，B点到准线的距离为，据抛物线定义可有|AF|＝3|FB|，结合已知条件＝m可得，m＝3.故选D.‎ ‎6.解析　设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝＝x＋＋1.5(x∈N*)，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A.‎ 答案　A ‎7.解析　当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；‎ 当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.‎ 综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点.‎ 答案　C ‎8.解析　记2名来自A大学的志愿者为A1，A2，4名来自B大学的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，‎ 共15种.其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种.故所求概率P＝＝.故选C.‎ 答案　C ‎9.解析　举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.‎ 答案　C ‎10解析　∵－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.‎ x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，‎ ‎∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.‎ 答案　D ‎11.解析　∵两条曲线的交点的连线过点F，∴两交点的横坐标为，则其中一交点为.代入双曲线方程得－＝1.又＝c，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，解得e＝＝1＋.故选C.‎ 答案　C ‎12.解析　依题意，得解得选D.‎ 答案　D ‎13.解析　由抛物线的定义可知|MF|＝xM＋＝2＋1＝3.‎ 答案　3‎ ‎14.解析　∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.‎ 又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.‎ 答案　a∥b∥c ‎15.解析　因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.‎ 答案　9‎ ‎16解析　从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为.‎ 答案　 ‎17解　(1)双曲线的离心率e＝＝，‎ 又a>0，∴a＝1，双曲线的顶点为(0，1)，又p>0，‎ ‎∴抛物线的焦点为(0，1)，‎ ‎∴抛物线方程为x2＝4y.‎ ‎(2)由题知，直线l的斜率必存在，‎ 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ ‎∵y＝x2，∴y′＝x，‎ ‎∴切线l1，l2的斜率分别为，，‎ 当l1⊥l2时，·＝－1，‎ ‎∴x1x2＝－4，‎ 由得x2－4kx－4k＝0，‎ ‎∴Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，‎ ‎∴k<－1或k>0.①‎ 由根与系数的关系得，‎ x1·x2＝－4k＝－4，∴k＝1，满足①，‎ 即直线的方程为x－y＋1＝0.‎ ‎18解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ ‎∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，‎ ‎∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.‎ ‎(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ ‎19解　(1)f(x)＝4cos ωx·sin＋a＝4cos ωx·＋a ‎＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a＝2sin＋1＋a.‎ 当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，‎ 又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，‎ ‎∴3＋a＝2，∴a＝－1.‎ 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝π，‎ ‎∴2ω＝＝2，∴ω＝1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2sin，‎ 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 令k＝0，得≤x≤，‎ ‎∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.‎ ‎20解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.‎ 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，‎ 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.‎ ‎(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，‎ 即sin x－cos x＝，所以sin＝，‎ 因为0

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