2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

石家庄市第一中学 ‎2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级文科数学试题 命题人：周燕 审核人：苏捧然 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是 A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 ‎3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A． B． C． D．‎ ‎4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎5．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎6．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 ‎，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 A． B． C． D．‎ ‎7．设x，y满足则z＝x＋y ‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎8．执行如图的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，‎ 则输出x，y的值满足 A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x ‎ ‎ ‎ ‎9．设函数，其中.‎ 若且的最小正周期大于，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．一个几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则该几何体的表面积是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知动点在椭圆上，若点的 坐标为，点满足，‎ 则的最小值是 A．　　 B．　　 C．　　 D．‎ ‎12．已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知点，向量，则向量 ．‎ ‎14．已知直线经过点，则的最小值为 ．‎ ‎15．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC=8，‎ AA1=3，则V的最大值是 ． ‎ ‎16．已知函数，若，则实数的 取值范围是 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．‎ ‎17．(本小题满分12分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎2cosC(acosB＋bcosA)＝c.‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎18．（本小题满分12分）某学校高一年级共有20个班，为参加全市的钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，作出如下频率分布直方图. ‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；‎ ‎（Ⅱ）若会弹钢琴的人数为[35，40]的 班级作为第一备选班级，会弹钢琴的人 数为[30，35)的班级作为第二备选班级，‎ 现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，‎ PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎ ‎A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ ‎20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为． ‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）以曲线C上的点为切点做曲线的切线，设分别与、轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切.当圆的面积最小时，求△与△面积的比．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，其中，‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的图像在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，都有恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以正半轴为极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的值.‎ ‎23．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）当函数的定义域为时，求实数的取值范围．‎ 文科数学试题答案 ‎1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C 9．A 10．C 11．C 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，‎ ‎2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.‎ 可得cosC＝，因为，所以C＝.‎ ‎（Ⅱ）由已知S△ABC＝absinC＝，又C＝，所以ab＝6，‎ 由已知及余弦定理得a2＋b2-2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，‎ 所以a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.‎ ‎18．解：（Ⅰ）设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，‎ 所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，记为；第二备选班级为3个，‎ 记为.‎ 要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，‎ 基本事件总数有10种，分别为：‎ ‎，，，，，，，，， ‎ 这两类备选班级中均有班级被选中包含的基本事件有6种，分别为：‎ ‎，，，，，， ‎ 所以，这两类备选班级中均有班级被选中的概率为.‎ ‎19．（Ⅰ）证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC．‎ 又因为平面ABC，所以PA⊥BD．‎ ‎（II）解：因为平面，平面平面，所以.‎ 因为为的中点，所以，.‎ 由（I）知，平面ABC，所以平面ABC，‎ 所以三棱锥的体积. ‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题意得，‎ 点到直线的距离等于它到定点的距离，‎ 点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，‎ 点的轨迹的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ‎ ．‎ 由 ，得，即 由，得到． ∴，‎ 解法二：由，当时，，‎ 以为切点的切线的斜率为 以为切点的切线为 即，整理 令则，，令则，‎ 点到切线的距离 ‎(当且仅当时，取等号)．‎ ‎∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．‎ ‎∴，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴． △与△面积之比为． ‎ ‎21．解：（Ⅰ）当时，，当时，，‎ ‎，所以所求切线方程为：‎ ‎（Ⅱ）首先，令其为，则 1） 当即时，单调递减，即单调递减，‎ ‎，单调递减，，所以成立；‎ 2） 当时，解得：，当时，‎ 单调递增，即单调递增，‎ ‎，单调递增，，所以不成立．‎ 综上所述：．‎ ‎22．解：（Ⅰ）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程为． ‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，点在直线上，‎ 过点的直线的参数方程为（为参数），‎ 代入圆方程得： ．设对应的参数分别为，‎ 因为，则， ．‎ 于是． ‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，要使函数有意义，‎ 有不等式①成立，‎ 当时，不等式①等价于，即，；‎ 当时，不等式①等价于，无解；‎ 当时，不等式①等价于，即，；‎ ‎ 综上，函数的定义域为.‎ ‎（Ⅱ）∵函数的定义域为，∴不等式恒成立，‎ ‎∴只要即可，‎ 又∵（当且仅当时取等号）‎ 即. 的取值范围是.‎