2018届二轮复习求数列通项公式必备的方法和技巧学案（全国通用）

2018届二轮复习求数列通项公式必备的方法和技巧学案（全国通用）

专题33 求数列通项公式必备的方法和技巧 ‎ 考纲要求:‎ ‎1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)‎ ‎ 2.了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)；‎ ‎ 3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)．‎ ‎2．数列与函数的关系 ‎(1)从函数观点看，数列可以看成是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．‎ ‎(2)数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法．‎ ‎3.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式（提示：不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一）．‎ ‎4.数列的通项an与前n项和Sn的关系：数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，则通项an＝(提示：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示)．‎ ‎ 5.递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．‎ 应用举例:‎ 类型一：由数列的前几项求数列的通项公式 ‎【例1】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　)‎ A. B．cos C．cosπ D．cosπ ‎【答案】D ‎【解析】令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．‎ ‎【例2】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)4,6,8,10，…； (2)－，，－，，…；‎ ‎(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)； (4)9,99,999,9 999，….‎ ‎【答案】见解析 类型二、已知递推关系式求通项公式 ‎（1）形如an＋1＝anf(n)，求an ‎【例3】【2017浙江省温州市高三月考试题】在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式是__________.‎ ‎【答案】an＝.‎ ‎【解析】∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝.‎ ‎（2）形如an＋1＝an＋f(n)，求an ‎【例4】【2017河北省定州中学高三月考】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式是__________.‎ ‎【答案】an＝‎ ‎【例5】【2017河南郑州一中高三月考】若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式是_______.‎ ‎【答案】an＝2n－1.‎ ‎【解析】由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.‎ ‎（3）形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an ‎【例6】数列满足，且，则数列的通项公式=_____________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得：，所以是以 为首项，公比为3的等比数列．所以，即．故应填．‎ 考点：1、数列递推式求通项公式．‎ ‎（4）形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an ‎【例7】【2017江苏泰兴中学高三月考】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式是_________.‎ ‎【答案】an＝(n∈N*)．‎ 类型三、已知数列的前n项和Sn或Sn与an的关系求通项公式 ‎【例8】【四川省泸州市2017届高三三诊】已知数列的前项和（），则数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因，故，以上两式两边相减可得，即，也即，所以，即，应填答案。‎ 点睛：解答本题的思路是先运用数列递推式建立关系，再巧妙变形得到，然后运用等差数列的定义求出通项公式，进而求得使得问题获解。‎ ‎【例9】【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】数列的前项和为，若， ，则数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【例10】【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试】若数列的前项和为，且，则的通项公式是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，数列｛｝是以1为首项，公比为-2的等比数列，故 ‎ 类型四、已知数列类型求其通项公式 ‎【例11】【安徽省亳州市二中2017届高三下学期教学质量检测】已知等差数列的公差为正数， ， ， 为常数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.根据数列的前几项求通项公式的方法：主要是观察项与序号的变化规律，采用不完全归纳推理完成．在归纳时注意：(1)分式中分子、分母的特征．(2)相邻项的变化特征．(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分．(4)各项的符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来．判断一个式子是不是数列的通项公式，可通过代入检验数列前几项，看是否满足给出的式子．‎ ‎2.由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法．形如an＝pan－1＋m(p，m为常数，p≠1，m≠0)时，构造等比数列；形如an＝an－1＋f(n)({f(n)}可求和)时，用累加法求解；形如＝f(n)({f(n)}可求积)时，用累积法求解．‎ 实战演练:‎ ‎1．等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且，那么数列的通项公式____________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 2．【2017届上海市奉贤区高三4月调研测试】已知为等差数列，若， ，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】=；‎ ‎【解析】设数列 的公差为,由 有 ,又 所以,故 . ‎ ‎3．【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】函数 ‎，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 4．【广西桂林市柳州市2018年届高三综合模拟金卷】已知是等差数列，公差不为零．若， ， 成等比数列，且，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：成等比数列，，即，化简得,由得，联立得，故.‎ 考点：（1）等差数列的定义；（2）等比中项.‎ ‎5．【河南省新乡市2017届高三第三次模拟测试】若数列是等比数列，且，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 6．【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊】设数列中， ， ， ， ，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ，所以数列为以为首项，2为公比的等比数列，即 ‎7．【广东省广州市2017届高三4月综合测试（二）】在各项都为正数的等比数列中，已知， ，则数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为各项都为正数的等比数列中， ，所以， ， ，故答案为.‎ ‎8．【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列，等比数列 的公比为，设， 的前项和分别为，．若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 9．【2017届安徽屯溪一中高三上学期月考二】在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题解析：由题意可知，即，又，所以 解得或，经验证得，所以 ‎．‎ 考点：等比数列的通项公式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了数列中的基本运算，属于基础题.本题中给出了首项，要求通项公式只需要求得公比，通过 成等差数列和等比数列的通项公式不难建立公比的方程，解答的难点是如何解方程以及如何取解，根据各项的系数特征合理分组即可求出的值，根据各项均为正数可以判断，再代入验证即可得到的值.‎ ‎10．【2017届河北正定中学高三上学期第一次月考】在数列中，，且数列是等比数列，则___________． ‎ ‎【答案】‎