2020学年高二数学下学期期中联考试题 理（新版）人教版

2020学年高二数学下学期期中联考试题 理（新版）人教版

‎2019学年第二学期期中联考 高二 理科数学试卷 ‎【完卷时间：120分钟；满分：150分】‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．i是虚数单位，复平面内，复数对应点位于(　*　)‎ A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC是(　*　)‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 ‎3．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为(　*　)‎ A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除 C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除 ‎4．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　*　)‎ A．②①③ B．③②① C．③①② D．①②③‎ ‎5．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是(　　)‎ A．y＝7x＋4 B．y＝x－4 C．y＝7x＋2 D．y＝x－2‎ ‎6．曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为(　*　)‎ A．4　　　 B．8　　　 C．10　　　 D．9‎ ‎7．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( * )‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 ‎8．在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　*　)‎ A. B. C. D. ‎9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　*　)‎ A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－，)‎ C．[－，] D．(－∞，－)∪[，＋∞)‎ ‎10．观察(x2)′=2x，(x4)′=4x3，…，y=f(x)，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=(　*　)‎ A.g(x) B.-g(x) C.f(x) D.-f(x)‎ - 10 -‎ ‎11．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(　*　)‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f(x)＝x3－ln(－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则的值为(　*　)‎ A．恒正 B．恒等于0 C．恒负 D．不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)‎ ‎13若复数z＝，其中i是虚数单位，则||＝_*_*__*__*__.‎ ‎14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_*__*__*___．‎ 15． 请阅读下列材料：若两个正实数a1、a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.类比上述结论，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1，你能得到的结论为　 * * * * * * * * ‎ ‎16．观察下图中各正方形图案，各边上有n(n≥2)个点，第n个图中圆点的总数是Sn.‎ n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；….按此规律，推出Sn与n的关系式为_____*___*__*__*__*__*___*___*____*___*_____．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？‎ ‎18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．‎ - 10 -‎ ‎ ‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ ‎(1)用分析法证明:设a，b，c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，且S2＝2ab，求证：S＜2a.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．‎ ‎20．(本小题满分12分)是否存在常数a，b，使等式错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明.(提示：可先令n=1，2求出a，b的值再证明)‎ ‎21．(12分)如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分，现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2).‎ ‎(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域.‎ ‎(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由.‎ ‎ ‎ - 10 -‎ ‎22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x(a<0)．‎ ‎(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；‎ ‎(2)若a＝－且关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；‎ ‎(3)设各项为正的数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝lnan＋an＋2，n∈N*，求证：an≤2n－1.‎ - 10 -‎ 福州市八县（市）协作校2019学年第二学期期中联考 高二 理科数学试卷（参考答案）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A B C D B A C C B D A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)‎ ‎13. 1 14． 15.a1＋a2＋…＋an≤. 16．Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？‎ 解：由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3.‎ ‎－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.--------------------------------------2分 知z的实部为正数，虚部为负数，‎ 所以复数z的对应点在第四象限．----------------------------------------4分 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则 因为a2－2a＝(a－1)2－1≥－1，‎ 所以x＝a2－2a＋4≥3，-------------------------------------------------7分 消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，---------------------------------------9分 所以复数z对应点的轨迹是一条射线，‎ 其方程为y＝－x＋2(x≥3)．--------------------------------------------10分 ‎18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值． ‎ 解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，‎ 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，‎ A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，-----------------------------------------------1分 - 10 -‎ 所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．----------------------------3分 因为cos〈，〉＝＝＝，-------------------5分 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.-------------------------6分 ‎(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，‎ 所以n1·＝0，n1·＝0，‎ 即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，‎ 所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．------------------------8分 取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，------------------------------9分 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.‎ 由|cosθ|＝＝＝，‎ 得sinθ＝.------------------------------------------------------11分 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.-------------------12分 ‎19．(本小题满分12分)‎ ‎(1)用分析法证明:设a，b，c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，且S2＝2ab，求证：S＜2a.‎ 证明：因为S2＝2ab，‎ 所以要证S＜2a，‎ 只需证S＜，即b＜S.‎ 因为S＝(a＋b＋c)，‎ 只需证2b＜a＋b＋c，‎ 即证b＜a＋c.‎ 因为a，b，c为三角形三边，‎ 所以b＜a＋c成立，所以S＜2a成立．-----------------------------------6分 ‎(2)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．‎ 证明：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，‎ 则ax0＝－，且0＜ax0＜1.‎ 所以0＜－<1，即＜x0＜2，与假设x0＜0矛盾．‎ - 10 -‎ 故方程f(x)＝0没有负数根．-------------------------------------------12分 ‎20．(本小题满分12分)是否存在常数a，b，使等式错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明.(提示：可先令n=1，2求出a，b的值再证明)‎ ‎【解析】若存在常数a，b使等式成立，则将n=1，n=2代入等式，有错误！未找到引用源。‎ 得a=1，b=4，即有错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。对于一切n∈N*成立.----------------2分 证明如下：‎ ‎(1)当n=1时，左边=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，右边=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，所以等式成立.---------------------------------4分 ‎(2)假设n=k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，--------------------------------------------------------------------6分 当n=k+1时，‎ 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。‎ ‎=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。‎ ‎=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。‎ ‎=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。‎ ‎=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。‎ ‎=错误！未找到引用源。‎ ‎=错误！未找到引用源。.--------------------------------------------------------------------------------------------10分 也就是说，当n=k+1时，等式成立.‎ 综上所述，可知等式对任何n∈N*都成立.----------------------------------------------------------12分 - 10 -‎ ‎21．(12分)如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分，现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2).‎ ‎(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域.‎ ‎(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由. ‎ ‎【解析】(1)如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为(2，4).‎ 设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，‎ 把(2，4)代入，得4=a×22，解得a=1，‎ 所以抛物线的方程为y=x2.----------------------------------------2分 因为y′=2x，‎ 所以过点P(t，t2)的切线EF的方程为y=2tx-t2.----------3分 令y=0，得E错误！未找到引用源。；令x=2，得F(2，4t-t2)，‎ 所以S=错误！未找到引用源。(4t-t2)，-------------------------------------5分 所以S=错误！未找到引用源。(t3-8t2+16t)，定义域为(0，2].----------------------------------------6分 ‎(2)S′=错误！未找到引用源。(3t2-16t+16)=错误！未找到引用源。(t-4)错误！未找到引用源。，-------------------------------------7分 由S′(t)>0，得00)．----------------------------1分 依题意f ′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0时恒成立，‎ 则a≤＝(－1)2－1在x>0时恒成立，‎ 即a≤((－1)2－1)min　(x>0)，---------------------------------------3分 当x＝1时，(－1)2－1取最小值－1，‎ ‎∴a的取值范围是(－∞，－1]．--------------------------------------4分 ‎(2)a＝－，f(x)＝－x＋b⇔x2－x＋lnx－b＝0.‎ 设g(x)＝x2－x＋lnx－b(x>0)，则 g′(x)＝.-------------------------------------------5分 g(x)，g′(x)随x的变化如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,4)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ ‎↑ 极大值 ‎↓ 极小值 ‎↑ ‎∴g(x)极小值＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－，‎ 又g(4)＝2ln2－b－2，--------------------------------------------7分 ‎∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则，‎ 得ln2－2

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