高考数学 17-18版 附加题部分 第6章 第73课 课时分层训练17

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高考数学 17-18版 附加题部分 第6章 第73课 课时分层训练17

课时分层训练(十七)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ ‎1.(2017·泰州二中高三月考)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.‎ ‎[解] ρ2=2ρcos θ,圆ρ=2cos θ的普通方程为:‎ x2+y2=2x,(x-1)2+y2=1,直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为:‎ ‎3x+4y+a=0,又圆与直线相切,所以=1,解得a=2或a=-8.‎ ‎2.(2017·苏锡常镇调研二)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(1,2),倾斜角为.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C:ρ=6cos θ.若直线l与圆C相交于A,B两点,求MA·MB的值.‎ ‎[解] 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 圆C的普通方程为(x-3)2+y2=9.‎ 直线l的参数方程代入圆C的普通方程,得t2+2(-1)t-1=0,‎ 设该方程两根为t1,t2,则t1·t2=-1.‎ ‎∴MA·MB=|t1·t2|=1.‎ ‎3.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程;‎ ‎(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ ‎[解] (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).‎ 可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).‎ ‎(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,‎ 所以直线CD与l的斜率相同,tan t=,t=.‎ 故D的直角坐标为,‎ 即.‎ ‎4.(2017·常州模拟)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,P(m,n)为曲线C2上任一点,求m+n的取值范围. 【导学号:62172380】‎ ‎[解] 曲线C1:的直角坐标方程为y=3-2x,与x轴交点为,曲线C2:的直角坐标方程为+=1,与x轴交点为(-a,0),(a,0),由a>0,曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上,所以a=.‎ 所以2m+n=3sin θ+3cos θ=3sin,‎ 所以m+n的取值范围为.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.(2017·南通模拟)在直角坐标系xOy内,直线l的参数方程为(t为参数).以Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sin.判断直线l和圆C的位置关系. 【导学号:62172381】‎ ‎[解] 将消去参数t,得直线l的直角坐标方程为y=2x-3;由ρ=2sin得ρ=2=2(sin θ+cos θ),‎ 两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ),‎ 即x2+y2=2y+2x,‎ ‎∴⊙C的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-1)2=2;‎ 又圆心C到直线l:2x-y-3=0的距离d==<,∴直线l和⊙C相交.‎ ‎2.(2017·苏州市期中)已知平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数,r>0).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin+1=0.‎ ‎(1)求圆C的圆心的极坐标;‎ ‎(2)当圆C与直线l有公共点时,求r的取值范围.‎ ‎[解] (1)由C:得(x-2)2+(y-2)2=r2,‎ ‎∴曲线C是以(2,2)为圆心,r为半径的圆,‎ ‎∴圆心的极坐标为.‎ ‎(2)由l:ρsin+1=0得l:x+y+1=0,‎ 从而圆心(2,2)到直线l的距离为d==,‎ ‎∵圆C与直线l有公共点,∴d≤r,即r≥.‎ ‎3.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,AB=,求l的斜率.‎ ‎[解] (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.‎ AB=|ρ1-ρ2|= ‎=.‎ 由AB=得cos2α=,tan α=±.‎ 所以l的斜率为或-.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角;‎ ‎(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求PA+PB.‎ ‎[解] (1)由消去参数α,得+y2=1,‎ 即C的普通方程为+y2=1.‎ 由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)‎ 将代入(*),化简得y=x+2,‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),‎ 即(t为参数),‎ 代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,‎ Δ=(18)2-4×5×27=108>0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,‎ 所以PA+PB=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.‎
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