【推荐】专题07 破译线性规划中含参问题-2018版高人一筹之高三数学（文）二轮复习特色专题训练

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一、单选题 1．设变量 x，y 满足约束条件 2 0 {4 4 0 3 x y x y x y         若目标函数 z＝x＋ky(k>0)的最小值为 13，则实数 k 等于 ( ) A. 7 B. 5 或 13 C. 5 或 29 4 D. 13 【答案】C 点睛：线性规划问题中，若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数 取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值． 2．若对圆     2 2 21 1 0x y r r     上任意一点  ,P x y ， 3 4 6 3 4 9x y x y     的取值与 ,x y 无 关，则实数 r 的取值范围是（ ） A. 1r  B. 1r  C. 1 2r  D. 2r  【答案】B 【解析】令3 4x y t  ，则等价于 6 9t t   的值与t 无关， 所以 6 9t   ，即 6 3 4 9x y    ，所以圆的区域位于两平行线区域之间， 所以 1 22, 1d d  ， 所以 1r  ，故选 B。 3．已知实数 ,x y 满足 1 { 2 1 y y x x y m      ，如果目标函数 z x y  的最小值为 2 ，则实数 m 等于（ ） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 点睛：线性规划问题，涉及到可行域中有参数问题，综合性要求较高．解决此类问题时，首先做出可行域， 然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题中显然直线越上移 z 越小，结合可行域显然最小值在 B 点取 得，从而求出 m ． 4．若不等式组 2 0 { 2 2 0 2 0 x y x y x y a          解为坐标的点所表示的平面区域为三角形，且其面积为 4 3 ，则实数 a 的值 为（ ） A. 3 B. 1 C. 3 或 1 D. 3 或 1 【答案】B 【解析】做出不等式组对应的平面区域如图所示，若不等式组表示的平面区域为三角形， 由 2 0{ 2 2 0 x y x y       可得： 2{ 0 x y   ，即  2,0A . 满足题意时，点  2,0A 位于直线 2 0x y m   下方， 即： 2 2 0m  ，解得： 1m   ，据此可排除 ACD 选项. 本题选择 B 选项. 5．若实数 ,x y 满足约束条件 1 { 1 3 3 x y x y x y        ，目标函数 2z ax y  仅在点 1 0， 处取得最小值，则实数 a 的 取值范围是（ ） A.  -6 2， B.  -6 2， C.  -3 1， D.  -3 1， 【答案】B 6．若 x y、 满足约束条件{ 2 2 x a y x y     ，若 2z x y  的最大值是 6，则 z 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 7．在直角坐标系中，若不等式 0 { 2 1 x y ax y x      表示一个三角形区域，则实数 a 的取值范围是( ) A. a>0 B. a≥0 C. a≤－2 D. a>－2 【答案】D 【解析】 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要 注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的 直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上 取得. 8．实数 ,x y 满足 3 { 0 , 6 0 x x y x y       若 z ax y  的最大值为3 9a  ,最小值为3 3a  ,则实数 a 的取值范围是 A.  1,0 B.  0,1 C.  1,1 D.   , 1 1,     【答案】C 【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示， 由目标函数 z 与直线 z ax y  在 y 轴上的截距之间的关系可知，当 1a  时，直线 z ax y  过点  C 3,9 时目标函数 z ax y  取得最大值3 9a  ，直线 z ax y  过点  A 3,3 时目标函数 z ax y  取得最小值 3 3a  ，不符合题意；当 1 1a   时，直线 z ax y  过点  C 3,9 时目标函数 z ax y  取得最大值 3 9a  ，直线 z ax y  过点  3, 3B  时目标函数 z ax y  取得最小值3 3a  ，如图所示，符合题意；当 a>-1 时，直线 z ax y  过点  3,3A  时目标函数 z ax y  取得最大值 3 3a  ，直线 z ax y  过点  3, 3B  时目标函数 z ax y  取得最小值3 3a  ，不符合题意.综上可得实数 a 的取值范围是 1,1 ，故 选 C. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是 “一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解 对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标 代入目标函数求出最值. 9．若实数 ,x y 满足不等式组 2 0 { 2 4 0 2 5 0 x y x y x y          ，且    3 2 1x a y   的最大值为5 ，则 a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 【答案】A    3 2 1x a y   =3x+2y+2﹣3a 的最大值为：5，由可行域可知 z=3x+2y+2﹣3a，经过 A 时，z 取得最大值， 由 2 0{ 2 5 0 x y x y       ，可得 A（1，3）可得 3+6+2﹣3a=5， 解得 a=2． 故选：A． 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要 注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的 直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上 取得. 10．若 x ， y 满足 0 { 3 0 3 0 y x y kx y        ，且 2z x y  的最大值为 4 ，则 k 的值为（ ）． A. 3 2  B. 3 2 C. 2 3  D. 2 3 【答案】A 【解析】 二、填空题 11．设 ,x y 满足约束条件 2 5 0 {2 2 0 0 x y x y x y         ，则目标函数  0, 0z ax by a b    的最大值为 5，则 ,a b 满 足的关系为__________； 2 2a b 的最小值为__________． 【答案】 3 4 5a b  1 【解析】 12．当实数 x，y 满足 2 4 0 { 1 0 1 x y x y y        时，ax＋y≤4 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 【答案】 3, 2     【解析】 由约束条件作可行域如图，联立 1{ 2 4 0 x x y     ，解得 31, 2C      ， 联立 1 0{ 2 4 0 x y x y       ，解得  2,1B ，在 1 0x y   中取 0y  得  1,0A ． 由 4ax y  得 4y ax   ，要使 4ax y  恒成立，则平面区域在直线 4y ax   的下方，若 0a  ， 则不等式等价于 4y  ，此时满足条件，若 0a  ，即 0a  ，平面区域满足条件，若 0a  ，即 0a  时， 要使平面区域在直线 4y ax   的下方，则只要 B 在直线上或直线下方即可，即 2 1 4a   ，得 30 2a  ， 综上 3 2a  ，所以实数 a 的取值范围是 3, 2     ，故答案为 3, 2     . 13．若曲线 y＝x2 上存在点(x，y)满足约束条件 2 0 { 2 2 0 x y x y y m        ，则实数 m 的取值范围是____________． 【答案】  ,1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)，作出抛物线 y＝x2， 14．如图，目标函数 z kx y  的可行域为四边形 OABC （含边界），  1,0A 、  0,1C ，若 3 2,4 3B     为 目标函数取最大值的最优解，则 k 的取值范围是_____________ 【答案】 4 8,9 3      【解析】直线 z kx y  的斜率为 k ，平移直线 +y kx z  ，因为 3 2,4 3B     为目标函数 z kx y  取最 大值的最优解，所以 AB BCk k k   ，又 8 4,3 9AB BCk k    ， 8 4 4 8,3 9 9 3k k        ，故答 案为 4 8,9 3      . 15．已知区域 2 :{ 2 0 1 0 y D x y x y        ，则圆    2 2: 2 2C x a y    与区域 D 有公共点，则实数 a 的取值范 围是__________. 【答案】  2,5a  点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 16．已知实数 x ， y 满足条件 1, { 4, 2 0, x y x y x y        若存在实数 a 使得函数 ( 0)z ax y a   取到最大值  z a 的 解有无数个，则 a _________，  z a =_________． 【答案】 1 1 【解析】由约束条件画出可行域如下图，    8 4A 1.5,2.5 , , , 2, 13 3B C      ，目标函数可化为 , 0,y ax z k a      1 , 12BC ACk k  ，取最大值即截距最大，且有无数个解，所以目标函数与边界重 合，当 1 2k a   ，截距为最小值，不符，当 1k a   时，符合。 max1, 1a z   ，填(1). 1 (2). 1。 17．已知不等式组 0 { 2 1 8 y y x x y      表示的平面区域为 M ，若直线 9 5y kx k   与平面区域 M 有公共点，则 实数 k 的取值范围是__________． 【答案】 0,5 点睛：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离” 等模型进行讨论研究。当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系” 知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.