高二数学人教a必修5练习：3-1不等关系与不等式word版含解析
第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
课时目标
1．初步学会作差法比较两实数的大小．
2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．比较实数 a，b 的大小
(1)文字叙述
如果 a－b 是正数，那么 a>b；
如果 a－b 等于 0，那么 a＝b；
如果 a－b 是负数，那么 a
0⇔a>b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b<0⇔ab⇔bb，b>c⇒a>c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒n a>n b.
一、选择题
1．若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.1
a<1
b B．a2>b2
C. a
c2＋1> b
c2＋1 D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 对 A，若 a>0>b，则1
a>0，1
b<0，此时1
a>1
b
，∴A 不成立；
对 B，若 a＝1，b＝－2，则 a2b，∴ a
c2＋1> b
c2＋1
恒成立，
∴C 正确；
对 D，当 c＝0 时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．
2．已知 a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>a
b> a
b2 B. a
b2>a
b>a
C.a
b>a> a
b2 D.a
b> a
b2>a
答案 D
解析 取 a＝－2，b＝－2，则a
b
＝1， a
b2
＝－1
2
，
∴a
b> a
b2>a.
3．已知 a、b 为非零实数，且 a0 时，a2b>0，ab2<0，a2b0，∴ 1
ab2< 1
a2b
；
对于 D，当 a＝－1，b＝1 时，b
a
＝a
b
＝－1.
4．若 x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．a0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－10，∴c>a.∴c>a>b.
5．设 a，b∈R，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
答案 D
解析 由 a>|b|得－a0，且 a－b>0.∴b－a<0，A 错，D 对．
可取特值，如 a＝2，b＝－1，
a3＋b3＝7>0，故 B 错．
而 a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C 错．
6．若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
答案 A
解析 由 a>b>c 及 a＋b＋c＝0 知 a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选 A.
二、填空题
7．若 1≤a≤5，－1≤b≤2，则 a－b 的取值范围为________．
答案 [－1,6]
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又 1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
8．若 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是________．
答案 f(x)>g(x)
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
9．若 x∈R，则 x
1＋x2
与1
2
的大小关系为________．
答案 x
1＋x2
≤1
2
解析 ∵ x
1＋x2
－1
2
＝2x－1－x2
21＋x2
＝－x－12
21＋x2
≤0，
∴ x
1＋x2
≤1
2.
10．设 n>1，n∈N，A＝ n－ n－1，B＝ n＋1－ n，则 A 与 B 的大小关系为________．
答案 A>B
解析 A＝ 1
n＋ n－1
，B＝ 1
n＋1＋ n
.
∵ n＋ n－1< n＋1＋ n，并且都为正数，∴A>B.
三、解答题
11．设 a>b>0，试比较a2－b2
a2＋b2
与a－b
a＋b
的大小．
解 方法一 作差法
a2－b2
a2＋b2
－a－b
a＋b
＝a＋ba2－b2－a－ba2＋b2
a2＋b2a＋b
＝a－b[a＋b2－a2＋b2]
a2＋b2a＋b
＝ 2aba－b
a＋ba2＋b2
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴ 2aba－b
a＋ba2＋b2>0，∴a2－b2
a2＋b2>a－b
a＋b
.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴a2－b2
a2＋b2>0，a－b
a＋b
>0.
∴
a2－b2
a2＋b2
a－b
a＋b
＝a＋b2
a2＋b2
＝a2＋b2＋2ab
a2＋b2
＝1＋ 2ab
a2＋b2>1.
∴a2－b2
a2＋b2>a－b
a＋b
.
12．设 f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中 x＞0 且 x≠1，试比较 f(x)与 g(x)的大小．
解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx
3x
4
，
①当
0＜x＜1，
3x
4
＞1， 或
x＞1，
0＜3x
4
＜1，
即 1＜x＜4
3
时，logx
3x
4
＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当3x
4
＝1，即 x＝4
3
时，logx
3x
4
＝0，即 f(x)＝g(x)；
③当
0＜x＜1，
0＜3x
4
＜1， 或
x＞1，
3x
4
＞1，
即 0＜x＜1，或 x＞4
3
时，logx
3x
4
＞0，即 f(x)＞g(x)．
综上所述，当 1＜x＜4
3
时，f(x)＜g(x)；
当 x＝4
3
时，f(x)＝g(x)；
当 0＜x＜1，或 x＞4
3
时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若 01
2>3
8
，∴最大的数应是 a1b1＋a2b2.
方法二 作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2 且 0a1，b2＝1－b1>b1，
∴00，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－1
2
＝2a1b1＋1
2
－a1－b1
＝b1(2a1－1)－1
2(2a1－1)＝(2a1－1) b1－1
2
＝2 a1－1
2 b1－1
2 >0，
∴a1b1＋a2b2>1
2.
综上可知，最大的数应为 a1b1＋a2b2.
14．设 x，y，z∈R，试比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当 x＝y＝1
2
且 z＝1 时取到等号．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
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